Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ sebagai $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali $x^{3} + 3 x^{2}$ sebagai $x^{2} (x + 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Langkah 1.1.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Langkah 1.1.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Langkah 1.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Langkah 1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 3}$ sebagai ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.8.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.9.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.9.3

Pindahkan ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.9.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.12

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.13

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.13.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.13.2

Kalikan $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Langkah 1.15

Kalikan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.16

Untuk menuliskan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.17

Gabungkan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.19

Kalikan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.19.1

Pindahkan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.19.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.19.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.19.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.19.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.20

Sederhanakan ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.21

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.22

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.22.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.22.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.22.2.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.22.2.2

Tambahkan $x$ dan $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.22.3

Faktorkan $3$ dari $3 x + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.22.3.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.22.3.2

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.22.3.3

Faktorkan $3$ dari $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 2$ dan $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Langkah 2.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Langkah 2.5.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Langkah 2.5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Langkah 2.5.4.2

Kalikan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{x + 3}$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Langkah 2.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Langkah 2.6.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + 3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Langkah 2.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Langkah 2.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Langkah 2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Langkah 2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Langkah 2.10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Langkah 2.11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Langkah 2.11.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Langkah 2.11.3

Pindahkan ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))}{x + 3}$

Langkah 2.12

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)))}{x + 3}$

Langkah 2.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3)))}{x + 3}$

Langkah 2.14

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 3}$

Langkah 2.15

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.15.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 3}$

Langkah 2.15.2

Kalikan $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$

Langkah 2.15.3

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

Langkah 2.16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 3)}$

Langkah 2.16.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 3)}$

Langkah 2.16.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.4.1

Faktorkan $3$ dari $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.4.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.1.2

Faktorkan $3$ dari $3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.2

Biarkan $u_{2} = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ . Masukkan $u_{2}$ untuk semua kejadian ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.4.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.2.2

Kalikan $u_{2}$ dengan $u_{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.4.2.2.1

Pindahkan $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.2.2.2

Kalikan $u_{2}$ dengan $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 2}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.4.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.4.4.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.4.4.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.4.4.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.4.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.4.1.2

Sederhanakan.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.4.1.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 6 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.4.2

Kurangi $x$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 6 - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.4.4.3

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.5.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

Langkah 2.16.5.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$

Langkah 2.16.5.3

Tulis kembali $\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$ sebagai hasil kali.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 6}$

Langkah 2.16.5.4

Kalikan $\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{2 x + 6}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 6)}$

Langkah 2.16.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.6.1

Faktorkan $2$ dari $2 x + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.6.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 6)}$

Langkah 2.16.6.1.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 3)}$

Langkah 2.16.6.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 x + 2 \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 3))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 3))}$

Langkah 2.16.6.2

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.16.6.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (x + 3)}$

Langkah 2.16.6.2.2

Naikkan $x + 3$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 ((x + 3) {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 2.16.6.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Langkah 2.16.6.2.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Langkah 2.16.6.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Langkah 2.16.6.2.6

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ sebagai $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Tulis kembali $x^{3} + 3 x^{2}$ sebagai $x^{2} (x + 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Langkah 4.1.1.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Langkah 4.1.1.1.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Langkah 4.1.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Langkah 4.1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 3}$ sebagai ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.3

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.5

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.6

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.8.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.9.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.9.3

Pindahkan ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.9.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.12

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.13

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.13.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.13.2

Kalikan $\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Langkah 4.1.15

Kalikan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.1.16

Untuk menuliskan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.17

Gabungkan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.19

Kalikan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.19.1

Pindahkan ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.19.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.19.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.19.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.19.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.20

Sederhanakan ${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.21

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.22

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.22.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.22.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.22.2.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.22.2.2

Tambahkan $x$ dan $2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.22.3

Faktorkan $3$ dari $3 x + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.22.3.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.22.3.2

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.22.3.3

Faktorkan $3$ dari $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$3 (x + 2) = 0$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagi setiap suku pada $3 (x + 2) = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Bagilah setiap suku di $3 (x + 2) = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 5.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 5.3.1.2.1.2

Bagilah $x + 2$ dengan $1$ .

$x + 2 = \frac{0}{3}$

Langkah 5.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 5.3.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

Langkah 6.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$

Langkah 6.2

Atur penyebut dalam $\frac{3 (x + 2)}{2 \sqrt{x + 3}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

Langkah 6.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 3}$ sebagai ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1

Sederhanakan ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.2.1.4

Sederhanakan.

$4 (x + 3) = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.2.1.6

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$4 x + 12 = 0^{2}$

Langkah 6.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 x + 12 = 0$

Langkah 6.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Kurangkan $12$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x = - 12$

Langkah 6.3.3.2

Bagi setiap suku pada $4 x = - 12$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x = - 12$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Langkah 6.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Langkah 6.3.3.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Langkah 6.3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.2.3.1

Bagilah $- 12$ dengan $4$ .

$x = - 3$

Langkah 6.4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x + 3}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x + 3 < 0$

Langkah 6.5

Kurangkan $3$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x < - 3$

Langkah 6.6

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = - 2, - 3$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 2$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{3 ((- 2) + 4)}{4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan $2$ dari $3 ((- 2) + 4)$ .

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{2 (2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}})}$

Langkah 9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (3 (- 1 + 2))}{2 (2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}})}$

Langkah 9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 (- 1 + 2)}{2 {((- 2) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 9.3

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 {(- 2 + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 9.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 9.4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1}$

Langkah 9.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{3}{2}$

Langkah 10

$x = - 2$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - 2$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = \sqrt{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2}}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 3 {(- 2)}^{2}}$

Langkah 11.2.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 3 \cdot 4}$

Langkah 11.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f (- 2) = \sqrt{- 8 + 12}$

Langkah 11.2.4

Tambahkan $- 8$ dan $12$ .

$f (- 2) = \sqrt{4}$

Langkah 11.2.5

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (- 2) = \sqrt{2^{2}}$

Langkah 11.2.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (- 2) = 2$

Langkah 11.2.7

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$y = 2$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = - 3$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 {((- 3) + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Tambahkan $- 3$ dan $3$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 13.1.2

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 13.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Langkah 13.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0^{3}}$

Langkah 13.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{4 \cdot 0}$

Langkah 13.3.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{0}$

Langkah 13.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{3 ((- 3) + 4)}{0}$

Langkah 13.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 14

Karena uji turunan pertama tidak berhasil, maka tidak ada ekstrem lokal.

Tidak Ada Ekstrem Lokal

Langkah 15