Kalkulus Contoh

$f (x) = - \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{15} x^{6} + 6 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{15} x^{6}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $- \frac{1}{15}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{15} x^{6}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$- \frac{1}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{15}) x^{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Langkah 1.1.1.2.4

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{15}$ .

$\frac{- 6}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Langkah 1.1.1.2.5

Gabungkan $\frac{- 6}{15}$ dan $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Langkah 1.1.1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.6.1

Faktorkan $3$ dari $- 6 x^{5}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Langkah 1.1.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $15$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Langkah 1.1.1.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Langkah 1.1.1.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Langkah 1.1.1.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [6 x^{4}]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- \frac{2 x^{5}}{5} + 6 (4 x^{3})$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{5}}{5} + 24 x^{3}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{2 x^{5}}{5} + 24 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{5}}{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Karena $- \frac{2}{5}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2 x^{5}}{5}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$- \frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2.3

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- 5 (\frac{2}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2.4

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2.5

Kalikan $- 5$ dengan $2$ .

$\frac{- 10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2.6

Gabungkan $\frac{- 10}{5}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{- 10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 10$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.7.1

Faktorkan $5$ dari $- 10 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.7.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.2.7.2.4

Bagilah $- 2 x^{4}$ dengan $1$ .

$- 2 x^{4} + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$

Langkah 1.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{4} + 24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 2 x^{4} + 24 (3 x^{2})$

Langkah 1.1.2.3.3

Kalikan $3$ dengan $24$ .

$f'' (x) = - 2 x^{4} + 72 x^{2}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 x^{4} + 72 x^{2}$ .

$- 2 x^{4} + 72 x^{2}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 x^{4} + 72 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 2 x^{4} + 72 x^{2} = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 {(x^{2})}^{2} + 72 x^{2} = 0$

Langkah 1.2.2.2

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$- 2 u^{2} + 72 u = 0$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $2 u$ dari $- 2 u^{2} + 72 u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Faktorkan $2 u$ dari $- 2 u^{2}$ .

$2 u (- u) + 72 u = 0$

Langkah 1.2.2.3.2

Faktorkan $2 u$ dari $72 u$ .

$2 u (- u) + 2 u (36) = 0$

Langkah 1.2.2.3.3

Faktorkan $2 u$ dari $2 u (- u) + 2 u (36)$ .

$2 u (- u + 36) = 0$

Langkah 1.2.2.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$2 x^{2} (- x^{2} + 36) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 36 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 1.2.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 1.2.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 1.2.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 1.2.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.5

Atur $- x^{2} + 36$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $- x^{2} + 36$ sama dengan $0$ .

$- x^{2} + 36 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Selesaikan $- x^{2} + 36 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Kurangkan $36$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x^{2} = - 36$

Langkah 1.2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} = - 36$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{2} = - 36$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 36}{- 1}$

Langkah 1.2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 36}{- 1}$

Langkah 1.2.5.2.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 36}{- 1}$

Langkah 1.2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.2.3.1

Bagilah $- 36$ dengan $- 1$ .

$x^{2} = 36$

Langkah 1.2.5.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{36}$

Langkah 1.2.5.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{36}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.4.1

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Langkah 1.2.5.2.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 6$

Langkah 1.2.5.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 6$

Langkah 1.2.5.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 6$

Langkah 1.2.5.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 6, - 6$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 x^{2} (- x^{2} + 36) = 0$ benar.

$x = 0, 6, - 6$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - 6)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 8$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 8) = - 2 {(- 8)}^{4} + 72 {(- 8)}^{2}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 8) = - 2 \cdot 4096 + 72 {(- 8)}^{2}$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $4096$ .

$f'' (- 8) = - 8192 + 72 {(- 8)}^{2}$

Langkah 4.2.1.3

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 8) = - 8192 + 72 \cdot 64$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $72$ dengan $64$ .

$f'' (- 8) = - 8192 + 4608$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 8192$ dan $4608$ .

$f'' (- 8) = - 3584$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3584$ .

$- 3584$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \infty, - 6)$ karena $f'' (- 8)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, - 6)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- 6, 0)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 3) = - 2 {(- 3)}^{4} + 72 {(- 3)}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 3) = - 2 \cdot 81 + 72 {(- 3)}^{2}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $81$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 72 {(- 3)}^{2}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 72 \cdot 9$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $72$ dengan $9$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 648$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 162$ dan $648$ .

$f'' (- 3) = 486$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $486$ .

$486$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- 6, 0)$ karena $f'' (- 3)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- 6, 0)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(0, 6)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (3) = - 2 {(3)}^{4} + 72 {(3)}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (3) = - 2 \cdot 81 + 72 {(3)}^{2}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $81$ .

$f'' (3) = - 162 + 72 {(3)}^{2}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (3) = - 162 + 72 \cdot 9$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $72$ dengan $9$ .

$f'' (3) = - 162 + 648$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 162$ dan $648$ .

$f'' (3) = 486$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $486$ .

$486$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(0, 6)$ karena $f'' (3)$ positif.

Cekung ke atas pada $(0, 6)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(6, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $8$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (8) = - 2 {(8)}^{4} + 72 {(8)}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $8$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (8) = - 2 \cdot 4096 + 72 {(8)}^{2}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $4096$ .

$f'' (8) = - 8192 + 72 {(8)}^{2}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (8) = - 8192 + 72 \cdot 64$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $72$ dengan $64$ .

$f'' (8) = - 8192 + 4608$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 8192$ dan $4608$ .

$f'' (8) = - 3584$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3584$ .

$- 3584$

Langkah 7.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(6, \infty)$ karena $f'' (8)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(6, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 8

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, - 6)$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(- 6, 0)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke atas pada $(0, 6)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(6, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 9