Kalkulus Contoh

$f (x) = e^{- x} (x^{2} + 2 x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{- x}$ dan $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 1.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 1.4.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

Langkah 1.4.3.3

Tulis kembali $- 1 (x^{2} + 2 x)$ sebagai $- (x^{2} + 2 x)$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Langkah 1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

Langkah 1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Langkah 1.5.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Langkah 1.5.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Langkah 1.5.4.3

Kurangi $2 x e^{- x}$ dengan $e^{- x} (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Pindahkan $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Langkah 1.5.4.3.2

Kurangi $2 x e^{- x}$ dengan $2 x e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

Langkah 1.5.4.4

Tambahkan $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ dan $0$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

Langkah 1.5.5

Susun kembali suku-suku.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

Langkah 1.5.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2} e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Langkah 2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Langkah 2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Langkah 2.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Langkah 2.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Langkah 2.2.8

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Langkah 2.2.9

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Langkah 2.3.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Langkah 2.3.7

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- e^{- x})$

Langkah 2.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Langkah 2.4.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Langkah 2.4.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Langkah 2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Langkah 2.4.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 4.1.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 4.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 4.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 4.1.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 4.1.4.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

Langkah 4.1.4.3.3

Tulis kembali $- 1 (x^{2} + 2 x)$ sebagai $- (x^{2} + 2 x)$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Langkah 4.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Langkah 4.1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

Langkah 4.1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Langkah 4.1.5.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.4.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Langkah 4.1.5.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Langkah 4.1.5.4.3

Kurangi $2 x e^{- x}$ dengan $e^{- x} (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.4.3.1

Pindahkan $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Langkah 4.1.5.4.3.2

Kurangi $2 x e^{- x}$ dengan $2 x e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

Langkah 4.1.5.4.4

Tambahkan $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ dan $0$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

Langkah 4.1.5.5

Susun kembali suku-suku.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

Langkah 4.1.5.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 e^{- x} = 0$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $e^{- x}$ dari $2 e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2 = 0$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $e^{- x}$ dari $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$

Langkah 5.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x^{2} + 2 = 0$

Langkah 5.4

Atur $e^{- x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Atur $e^{- x}$ sama dengan $0$ .

$e^{- x} = 0$

Langkah 5.4.2

Selesaikan $e^{- x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Langkah 5.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 5.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 5.5

Atur $- x^{2} + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Atur $- x^{2} + 2$ sama dengan $0$ .

$- x^{2} + 2 = 0$

Langkah 5.5.2

Selesaikan $- x^{2} + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x^{2} = - 2$

Langkah 5.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} = - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{2} = - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 5.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 5.5.2.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 5.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Langkah 5.5.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{2}$

Langkah 5.5.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{2}$

Langkah 5.5.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{2}$

Langkah 5.5.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Langkah 5.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$ benar.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \sqrt{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

${(\sqrt{2})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Langkah 9.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Langkah 9.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Langkah 9.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Langkah 9.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2^{1} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Langkah 9.1.5

Evaluasi eksponennya.

$2 e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

$2 e^{- \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kurangi $2 e^{- \sqrt{2}}$ dengan $2 e^{- \sqrt{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} + 0$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ dan $0$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Langkah 10

$x = \sqrt{2}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \sqrt{2}$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $\sqrt{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\sqrt{2}) = e^{- (\sqrt{2})} ({(\sqrt{2})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

Langkah 11.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{2}))$

Langkah 11.2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

Langkah 11.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

Langkah 11.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

Langkah 11.2.1.5

Evaluasi eksponennya.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 \sqrt{2})$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} \cdot 2 + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

Langkah 11.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{- \sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot e^{- \sqrt{2}} + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

Langkah 11.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{- \sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

Langkah 11.2.4

Jawaban akhirnya adalah $2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$ .

$y = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

Langkah 12

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \sqrt{2}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

${(- \sqrt{2})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.3

Kalikan ${\sqrt{2}}^{2}$ dengan $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.4

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2^{1} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.4.5

Evaluasi eksponennya.

$2 e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.5

Kalikan $- (- \sqrt{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 e^{1 \sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.5.2

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.7

Kalikan $- (- \sqrt{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{1 \sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.7.2

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Langkah 13.1.8

Kalikan $- (- \sqrt{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.8.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{1 \sqrt{2}}$

Langkah 13.1.8.2

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Langkah 13.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Kurangi $2 e^{\sqrt{2}}$ dengan $2 e^{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} + 0$

Langkah 13.2.2

Tambahkan $2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ dan $0$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Langkah 14

$x = - \sqrt{2}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \sqrt{2}$ adalah minimum lokal

Langkah 15

Tentukan nilai y ketika $x = - \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \sqrt{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \sqrt{2}) = e^{- (- \sqrt{2})} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Langkah 15.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Kalikan $- (- \sqrt{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{1 \sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Langkah 15.2.1.2

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Langkah 15.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Langkah 15.2.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (1 {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Langkah 15.2.2.3

Kalikan ${\sqrt{2}}^{2}$ dengan $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Langkah 15.2.2.4

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Langkah 15.2.2.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Langkah 15.2.2.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

Langkah 15.2.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.2.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

Langkah 15.2.2.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

Langkah 15.2.2.4.5

Evaluasi eksponennya.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

Langkah 15.2.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 - 2 \sqrt{2})$

Langkah 15.2.3

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} \cdot 2 + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Langkah 15.2.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Langkah 15.2.4

Jawaban akhirnya adalah $2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$ .

$y = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Langkah 16

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = e^{- x} (x^{2} + 2 x)$ .

$(\sqrt{2}, 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2})$ adalah maksimum lokal

$(- \sqrt{2}, 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2}))$ adalah minimum lokal

Langkah 17