Kalkulus Contoh

$y = arcsec (\cos (2 x))$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec (\cos (2 x)))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = arcsec (x)$ dan $g (x) = \cos (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $arcsec (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gabungkan $\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ dan $\sin (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 3.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.3.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \cdot 1$

Langkah 3.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Susun kembali $\cos^{2} (2 x)$ dan $- 1$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 + \cos^{2} (2 x)}}$

Langkah 3.4.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) + \cos^{2} (2 x)}}$

Langkah 3.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $\cos^{2} (2 x)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))}}$

Langkah 3.4.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Langkah 3.4.5

Tulis kembali $- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ sebagai $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

Langkah 3.4.6

Terapkan identitas pythagoras.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- \sin^{2} (2 x)}}$

Langkah 3.4.7

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1

Susun kembali $- 1$ dan $\sin^{2} (2 x)$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\sin^{2} (2 x) \cdot - 1}}$

Langkah 3.4.7.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) (\sin (2 x) \sqrt{- 1})}$

Langkah 3.4.7.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Langkah 3.4.8

Batalkan faktor persekutuan dari $\sin (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

Langkah 3.4.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{2}{\cos (2 x) i}$

Langkah 3.4.9

Pisahkan pecahan.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

Langkah 3.4.10

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (2 x)}$ ke $\sec (2 x)$ .

$- (\frac{2}{i} \sec (2 x))$

Langkah 3.4.11

Kalikan pembilang dan penyebut dari $\frac{2}{i}$ dengan konjugat $i$ untuk membuat penyebutnya riil.

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i} \sec (2 x))$

Langkah 3.4.12

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.12.1

Gabungkan.

$- (\frac{2 i}{i i} \sec (2 x))$

Langkah 3.4.12.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.12.2.1

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i} \sec (2 x))$

Langkah 3.4.12.2.2

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{1} i^{1}} \sec (2 x))$

Langkah 3.4.12.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- (\frac{2 i}{i^{1 + 1}} \sec (2 x))$

Langkah 3.4.12.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- (\frac{2 i}{i^{2}} \sec (2 x))$

Langkah 3.4.12.2.5

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$- (\frac{2 i}{- 1} \sec (2 x))$

Langkah 3.4.13

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{2 i}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot (2 i) \sec (2 x))$

Langkah 3.4.14

Tulis kembali $- 1 \cdot (2 i)$ sebagai $- (2 i)$ .

$- (- (2 i) \sec (2 x))$

Langkah 3.4.15

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- (- 2 i \sec (2 x))$

Langkah 3.4.16

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 i \sec (2 x)$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 2 i \sec (2 x)$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 i \sec (2 x)$