Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Kemudian $d u = (2 x + 2) d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $2 x + 2$ dan $0$ .

$2 x + 2$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 3$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 - 3$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 - 3$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Langkah 1.3.3

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 2 \cdot 1 - 3$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 - 3$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 - 3$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Langkah 1.5.3

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} d u$

Langkah 4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{0}$

Langkah 5

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $0$ dan pada $- 3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 3 |))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$

Langkah 6.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})}{2}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $0$ adalah $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 3 |})}{2}$

Langkah 7.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $- 3$ dan $0$ adalah $3$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{3})}{2}$

Langkah 7.3

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$\frac{\ln (0)}{2}$

Langkah 7.4

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\ln (0)}{2}$

Langkah 8

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi