Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{2} (x + 1) e^{- 2 x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x + 1$ dan $d v = e^{- 2 x}$ .

$(x + 1) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - - \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + 1 \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Langkah 4.2

Kalikan $\int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ dengan $1$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} e^{- 2 x} d x$

Langkah 6

Biarkan $u = - 2 x$ . Kemudian $d u = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 6.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 6.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 1$

Langkah 6.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$u_{lower} = - 2$

Langkah 6.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 2$

Langkah 6.5

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$u_{upper} = - 4$

Langkah 6.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 4$

Langkah 6.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 7.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{- 2}^{- 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

Langkah 10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

Langkah 11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

Langkah 12

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi $(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})$ pada $2$ dan pada $1$ .

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

Langkah 12.2

Evaluasi $e^{u}$ pada $- 4$ dan pada $- 2$ .

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$3 (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$3 (- \frac{e^{- 4}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.3

Pindahkan $e^{- 4}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 e^{4}}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 \frac{1}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.5

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2 e^{4}}$ .

$\frac{- 3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 1 \cdot 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.9

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.10

Pindahkan $e^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{1}{2 e^{2}}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.12

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.13

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.13.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.13.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

Langkah 12.3.14

Untuk menuliskan $- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) \cdot \frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$

Langkah 12.3.15

Gabungkan $- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ dan $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

Langkah 12.3.16

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

Langkah 12.3.17

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

Langkah 12.3.18

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

Langkah 12.3.19

Gabungkan $e^{4}$ dan $\frac{- 2}{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{e^{4} \cdot - 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Langkah 12.3.20

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $e^{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2 \cdot e^{4}}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Langkah 12.3.21

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.21.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 e^{4}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Langkah 12.3.21.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.21.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 (2)} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Langkah 12.3.21.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 \cdot 2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Langkah 12.3.21.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Langkah 12.3.22

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} e^{- 4} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.2

Kalikan $- \frac{e^{4}}{2} e^{- 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.2.1

Gabungkan $e^{- 4}$ dan $\frac{e^{4}}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4} e^{4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.2.2

Kalikan $e^{- 4}$ dengan $e^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.2.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4 + 4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.2.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{0}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.2.3

Sederhanakan $e^{0}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.3

Kalikan $- \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + 1 \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.3.2

Kalikan $\frac{e^{4}}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.3.3

Gabungkan $\frac{e^{4}}{2}$ dan $e^{- 2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4} e^{- 2}}{2}}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.3.4

Kalikan $e^{4}$ dengan $e^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.3.4.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4 - 2}}{2}}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.3.4.2

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.4

Untuk menuliskan $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.5

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.7.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 6 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.7.2

Kurangi $1$ dengan $- 6$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.1.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7 + e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$

Langkah 13.1.3

Kalikan $\frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.3.1

Kalikan $\frac{- 7 + e^{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{2 e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2 (2 e^{4})}$

Langkah 13.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Langkah 13.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{e^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ .

$\frac{1}{e^{2}} \cdot \frac{4 e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Langkah 13.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $4 e^{4}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Kalikan $\frac{1}{e^{2}}$ dengan $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} (4 e^{2})} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Langkah 13.3.2

Kalikan $e^{2}$ dengan $e^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.2.1

Pindahkan $e^{2}$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} e^{2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Langkah 13.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4 e^{2}}{e^{2 + 2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Langkah 13.3.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{4 e^{2}}{e^{4} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Langkah 13.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{4} \cdot 4$ .

$\frac{4 e^{2}}{4 e^{4}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Langkah 13.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 e^{2} - 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

Langkah 13.5

Tambahkan $4 e^{2}$ dan $e^{2}$ .

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

Langkah 14

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

Bentuk Desimal:

$0.13711673 \dots$

Langkah 15