Kalkulus Contoh

$y = arctanh (1 - 2 x)$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = arctanh (x)$ dan $g (x) = 1 - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [arctanh (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Langkah 1.2

Turunan dari $arctanh (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 - u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - 2 x$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 2.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.5

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \cdot 1$

Langkah 2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- \frac{2}{1^{2} - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Langkah 3.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = 1 - 2 x$ .

$- \frac{2}{(1 + 1 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{2}{(2 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Langkah 3.1.3.2

Faktorkan $2$ dari $2 - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{2}{(2 (1) - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Langkah 3.1.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$- \frac{2}{(2 (1) + 2 (- x)) (1 - (1 - 2 x))}$

Langkah 3.1.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $2 (1) + 2 (- x)$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - (1 - 2 x))}$

Langkah 3.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 \cdot 1 - (- 2 x))}$

Langkah 3.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 - (- 2 x))}$

Langkah 3.1.3.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 + 2 x)}$

Langkah 3.1.3.6

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (0 + 2 x)}$

Langkah 3.1.3.7

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) \cdot 2 x}$

Langkah 3.1.3.8

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{2}{4 (1 - x) x}$

Langkah 3.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4 (1 - x) x}$

Langkah 3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 (1 - x) x$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (2 (1 - x) x)}$

Langkah 3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (2 (1 - x) x)}$

Langkah 3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{2 (1 - x) x}$

Langkah 3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{1}{2 (1 - x) x}$ .

$- \frac{1}{2 x (1 - x)}$