Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{3} \frac{3}{2} \sqrt{x + 1} d x$

Langkah 1

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{3}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{x + 1} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 2.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Langkah 2.5

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$u_{upper} = 4$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Langkah 3

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $4$ dan pada $1$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.5

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.6

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.7

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Langkah 5.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Langkah 5.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

Langkah 5.2.10

Kurangi $2$ dengan $16$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3}$

Langkah 5.2.11

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 3}$

Langkah 5.2.12

Kalikan $3$ dengan $14$ .

$\frac{42}{2 \cdot 3}$

Langkah 5.2.13

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{42}{6}$

Langkah 5.2.14

Hapus faktor persekutuan dari $42$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.14.1

Faktorkan $6$ dari $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Langkah 5.2.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.14.2.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Langkah 5.2.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Langkah 5.2.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{7}{1}$

Langkah 5.2.14.2.4

Bagilah $7$ dengan $1$ .

$7$

Langkah 6