Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{2} (4 x + 5) e^{- x} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = 4 x + 5$ dan $d v = e^{- x}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - e^{- x} \cdot 4 d x$

Langkah 2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - 4 e^{- x} d x$

Langkah 3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - (- 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

Langkah 4

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 5.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Langkah 5.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Langkah 5.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Langkah 7

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Langkah 8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $(4 x + 5) (- e^{- x})$ pada $2$ dan pada $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Langkah 9.2

Evaluasi $e^{u}$ pada $- 2$ dan pada $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$(8 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 9.3.2

Tambahkan $8$ dan $5$ .

$13 (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 9.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$13 (- e^{- 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 9.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $13$ .

$- 13 e^{- 2} - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 9.3.5

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$- 13 e^{- 2} - (0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 9.3.6

Tambahkan $0$ dan $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 1 \cdot 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 9.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 9.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 9.3.9

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- 1 \cdot 1) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 9.3.10

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 \cdot - 1 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 9.3.11

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Langkah 9.3.12

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Langkah 9.3.13

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 13 \frac{1}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Langkah 10.1.2

Gabungkan $- 13$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{- 13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Langkah 10.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Langkah 10.1.4

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} - 4 \cdot - 1$

Langkah 10.1.5

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} + 4$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 \frac{1}{e^{2}} + 4$

Langkah 10.2.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 + \frac{- 4}{e^{2}} + 4$

Langkah 10.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - \frac{4}{e^{2}} + 4$

Langkah 10.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 + 4 + \frac{- 13 - 4}{e^{2}}$

Langkah 10.4

Kurangi $4$ dengan $- 13$ .

$5 + 4 + \frac{- 17}{e^{2}}$

Langkah 10.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$5 + 4 - \frac{17}{e^{2}}$

Langkah 10.6

Tambahkan $5$ dan $4$ .

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Bentuk Desimal:

$6.69930018 \dots$

Langkah 12