Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Langkah 1

Tulis integral sebagai limit ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x^{2} e^{- x^{3}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Kemudian $d u_{2} = - 3 x^{2} e^{- x^{3}} d x$ sehingga $- \frac{1}{3} d u_{2} = x^{2} e^{- x^{3}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{3}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $e^{- x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{3}}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x^{3}$ .

$e^{- x^{3}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{- x^{3}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$e^{- x^{3}} (- (3 x^{2}))$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{- x^{3}} (- 3 x^{2})$ .

$- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$

Langkah 2.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 3 e^{- x^{3}} x^{2}$ .

$- 3 x^{2} e^{- x^{3}}$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{3}}$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Langkah 2.3.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = e^{- x^{3}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{3}}$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Langkah 3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{3}}} - \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{3}}}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $- \frac{1}{3} u_{2}$ pada $e^{- t^{3}}$ dan pada $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{3} e^{- t^{3}}) + \frac{1}{3} \cdot 1$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gabungkan $e^{- t^{3}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1$

Langkah 5.2.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}}}{3} + \frac{1}{3}$

Langkah 6

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan pecahan-pecahan menggunakan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{3}} + 1}{3}$

Langkah 6.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- e^{- t^{3}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) + 1}{3}$

Langkah 6.1.3

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)}{3}$

Langkah 6.1.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (e^{- t^{3}}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

Langkah 6.1.5

Tulis kembali $- (e^{- t^{3}} - 1)$ sebagai $- 1 (e^{- t^{3}} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{3}} - 1)}{3}$

Langkah 6.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

Langkah 6.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{3}} - 1}{3}$

Langkah 6.2.2

Pindahkan suku $\frac{1}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - 1$

Langkah 6.2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{3} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{3}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 6.3

Karena eksponen $- t^{3}$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{- t^{3}}$ mendekati $0$ .

$- \frac{1}{3} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Langkah 6.4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{3} (0 - 1 \cdot 1)$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{3} (0 - 1)$

Langkah 6.4.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 1$

Langkah 6.4.2.3

Kalikan $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3})$

Langkah 6.4.2.3.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{3}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{3}$