Kalkulus Contoh

$\int 2 x e^{- 2 x} d x$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int x e^{- 2 x} d x$

Langkah 2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- 2 x}$ .

$2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Langkah 3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Langkah 3.3

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Langkah 5.2

Kalikan $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ dengan $1$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Langkah 7

Biarkan $u = - 2 x$ . Kemudian $d u = - 2 d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = - 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 7.1.2

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2$

Langkah 7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Langkah 8.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Langkah 11.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Langkah 12

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tulis kembali $2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ sebagai $2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.2

Gabungkan $e^{- 2 x}$ dan $\frac{x}{2}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Langkah 13.2.3

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 2 x$ .

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- e^{- 2 x} x + 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Langkah 15.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Langkah 15.3.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 (2)} + C$

Langkah 15.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- e^{- 2 x} x + 2 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 15.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- e^{- 2 x} x + \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 15.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- e^{- 2 x} x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 15.5

Gabungkan $- e^{- 2 x} x$ dan $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ menggunakan penyebut umum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1

Pindahkan $e^{- 2 x}$ .

$- x e^{- 2 x} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 15.5.2

Untuk menuliskan $- x e^{- 2 x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 15.5.3

Gabungkan $- x e^{- 2 x}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 15.5.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 15.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.6.1

Faktorkan $e^{- 2 x}$ dari $- x e^{- 2 x} \cdot 2 - e^{- 2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.6.1.1

Faktorkan $e^{- 2 x}$ dari $- x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) - e^{- 2 x}}{2} + C$

Langkah 15.6.1.2

Faktorkan $e^{- 2 x}$ dari $- e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1}{2} + C$

Langkah 15.6.1.3

Faktorkan $e^{- 2 x}$ dari $e^{- 2 x} (- x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- x \cdot 2 - 1)}{2} + C$

Langkah 15.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x - 1)}{2} + C$

Langkah 15.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1)}{2} + C$

Langkah 15.8

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x) - 1 (1))}{2} + C$

Langkah 15.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x + 1))}{2} + C$

Langkah 15.10

Tulis kembali $- (2 x + 1)$ sebagai $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x + 1))}{2} + C$

Langkah 15.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

Langkah 16

Hilangkan tanda kurung.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$