Kalkulus Contoh

$\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}} d x$

Langkah 4

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 - x) (1 + x)}} d x$

Langkah 5

Lengkapi kuadratnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Perluas $(1 - x) (1 + x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$1 (1 + x) - x (1 + x)$

Langkah 5.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$1 \cdot 1 + 1 x - x (1 + x)$

Langkah 5.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$1 \cdot 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Langkah 5.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Langkah 5.1.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$1 + x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Langkah 5.1.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$1 + x - x - x \cdot x$

Langkah 5.1.2.1.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$1 + x - x - (x \cdot x)$

Langkah 5.1.2.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$1 + x - x - x^{2}$

Langkah 5.1.2.2

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Langkah 5.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1 - x^{2}$

Langkah 5.1.3

Susun kembali $1$ dan $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

Langkah 5.2

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Langkah 5.3

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 5.4

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Langkah 5.4.2.1.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Langkah 5.4.2.2

Tulis kembali $- 1 \cdot 0$ sebagai $- 0$ .

$d = - 0$

Langkah 5.4.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$d = 0$

Langkah 5.5

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Langkah 5.5.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Langkah 5.5.2.1.3

Bagilah $0$ dengan $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Langkah 5.5.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$e = 1 + 0$

Langkah 5.5.2.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$e = 1$

Langkah 5.6

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1}} d x$

Langkah 6

Biarkan $u = x + 0$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = x + 0$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Langkah 6.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 0$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Langkah 6.1.4

Karena $0$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 6.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

Langkah 7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

Langkah 7.2

Susun kembali $- u^{2}$ dan $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ terhadap $u$ adalah $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 0$ .

$\arcsin (x + 0) + C$

Langkah 10

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\arcsin (x) + C$

Langkah 11

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (x) + C$