Kalkulus Contoh

$\sqrt{x^{2} - 1}$

Langkah 1

Tulis $\sqrt{x^{2} - 1}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Langkah 4

Biarkan $x = \sec (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ positif.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 5.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Langkah 5.2.2

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Langkah 5.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Langkah 5.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Langkah 6

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$\int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 7

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 8

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan sifat distributif.

$\int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 8.2

Sederhanakan setiap suku.

$\int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

Langkah 11

Integral dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t$

Langkah 12

Faktorkan $\sec (t)$ dari $\sec^{3} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Langkah 13

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \sec (t)$ dan $d v = \sec^{2} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Langkah 14

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Langkah 15

Naikkan $\tan (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Langkah 16

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Langkah 17

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Langkah 17.2

Susun kembali $\tan^{2} (t)$ dan $\sec (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Langkah 18

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (t)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Langkah 19

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Tulis kembali eksponensiasinya sebagai hasil kali.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 19.2

Terapkan sifat distributif.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 19.3

Susun kembali $\sec (t)$ dan $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Langkah 20

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Langkah 21

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Langkah 22

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Langkah 23

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Langkah 24

Naikkan $\sec (t)$ menjadi pangkat $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Langkah 25

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Langkah 26

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Langkah 27

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 28

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 29

Integral dari $\sec (t)$ terhadap $t$ adalah $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Langkah 30

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 30.1

Terapkan sifat distributif.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Langkah 30.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Langkah 31

Ketika menyelesaikan $\int \sec^{3} (t) d t$ , kami menemukan bahwa $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

Langkah 32

Kalikan $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ dengan $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

Langkah 33

Sederhanakan.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Langkah 34

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $arcsec (x)$ .

$- \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x)) \tan (arcsec (x)) + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |)) + C$

Langkah 35

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x)) \tan (arcsec (x)) + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |)) + C$