Kalkulus Contoh

$\int \frac{\sin (2 x)}{\cos^{2} (2 x)} d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \cos (2 x)$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \cos (2 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Langkah 2.2

Kalikan $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${u_{2}}^{2}$ .

$\int - \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{2 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Langkah 5

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan ${u_{2}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Langkah 5.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Langkah 5.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{- 2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2} (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ sebagai $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{u_{2}} + C$

Langkah 7.2.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u_{2}} + C$

Langkah 7.2.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 u_{2}} + C$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{2 \cos (2 x)} + C$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pisahkan pecahan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} + C$

Langkah 9.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (2 x)}$ ke $\sec (2 x)$ .

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$

Langkah 9.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sec (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x)}{2} + C$

Langkah 9.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} \sec (2 x) + C$