Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} {(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$

Langkah 1

Gunakan sifat dari logaritma untuk menyederhanakan limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali

${(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$ sebagai

$e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Langkah 1.2

Perluas

$\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})$ dengan memindahkan

$\frac{1}{x}$ ke luar logaritma.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Langkah 2.2

Gabungkan

$\frac{1}{x}$ dan

$\ln (\ln (x))$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{x}}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}{lim_{x \to \infty} x}}$

Langkah 3.1.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi

$\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Langkah 3.1.3

Limit pada tak hingga dari polinomial yang koefisien pertamanya positif adalah tak hingga.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Langkah 3.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Langkah 3.2

Karena

$\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\ln (x))}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = \ln (x)$ dan

$g (x) = \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u$ sebagai

$\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.2.2

Turunan dari

$\ln (u)$ terhadap

$u$ adalah

$\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$\ln (x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.3

Turunan dari

$\ln (x)$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.4

Kalikan

$\frac{1}{\ln (x)}$ dengan

$\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\ln (x) x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.5

Susun kembali suku-suku.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Langkah 3.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x \ln (x)}}{1}}$

Langkah 3.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)} \cdot 1}$

Langkah 3.5

Kalikan

$\frac{1}{x \ln (x)}$ dengan

$1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x \ln (x)}}$

Langkah 4

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan

$\frac{1}{x \ln (x)}$ mendekati

$0$ .

$e^{0}$

Langkah 5

Apa pun yang dinaikkan ke

$0$ adalah

$1$ .

$1$