Kalkulus Contoh

$\tan^{5} (x)$

Langkah 1

Tulis $\tan^{5} (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \tan^{5} (x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \tan^{5} (x) d x$

Langkah 4

Faktorkan $\tan^{4} (x)$ .

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) d x$

Langkah 5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) d x$

Langkah 5.2

Tulis kembali ${\tan (x)}^{2 (2)}$ sebagai eksponensiasi.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Langkah 6

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (x)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Langkah 7

Gunakan Teorema Binomial.

$\int ({(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2}) \tan (x) d x$

Langkah 8

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan sifat distributif.

$\int {(- 1)}^{2} \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\int 1 \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Langkah 8.2.2

Kalikan $\tan (x)$ dengan $1$ .

$\int \tan (x) + 2 \cdot - 1 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Langkah 8.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) d x$

Langkah 8.2.4

Kalikan eksponen dalam ${(\sec^{2} (x))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{2 \cdot 2} \tan (x) d x$

Langkah 8.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int \tan (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \tan (x) d x + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Langkah 10

Integral dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Langkah 11

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Langkah 12

Biarkan $u_{1} = \sec (x)$ . Kemudian $d u_{1} = \sec (x) \tan (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Biarkan $u_{1} = \sec (x)$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Diferensialkan $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Langkah 12.1.2

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Langkah 12.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 \int u_{1} d u_{1} + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int \sec^{4} (x) \tan (x) d x$

Langkah 14

Biarkan $u_{2} = \sec (x)$ . Kemudian $d u_{2} = \sec (x) \tan (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Biarkan $u_{2} = \sec (x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Diferensialkan $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Langkah 14.1.2

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Langkah 14.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \int {u_{2}}^{3} d u_{2}$

Langkah 15

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{3}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{4} {u_{2}}^{4}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{1}{2} {u_{1}}^{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${u_{1}}^{2}$ .

$\ln (| \sec (x) |) + C - 2 (\frac{{u_{1}}^{2}}{2} + C) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 16.2

Sederhanakan.

$\ln (| \sec (x) |) - {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 17

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} {u_{2}}^{4} + C$

Langkah 17.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sec (x)$ .

$\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$

Langkah 18

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \tan^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $\ln (| \sec (x) |) - \sec^{2} (x) + \frac{1}{4} \sec^{4} (x) + C$