Kalkulus Contoh

$y = \frac{3 x + 7}{\sqrt{5 + 2 x}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5 + 2 x}$ sebagai ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x + 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 3 x + 7$ dan $g (x) = {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3

Kalikan eksponen dalam ${({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{{(5 + 2 x)}^{1}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 7] - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Langkah 5.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Langkah 5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Langkah 5.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [7]) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Langkah 5.5

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Langkah 5.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Langkah 5.6.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) \frac{d}{d x} [{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]}{5 + 2 x}$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 5 + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $5 + 2 x$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Langkah 6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $5 + 2 x$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Langkah 7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Langkah 8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Langkah 9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Langkah 10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Langkah 10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Langkah 11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2} {(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Langkah 11.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{{(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Langkah 11.3

Pindahkan ${(5 + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 + 2 x])}{5 + 2 x}$

Langkah 12

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 + 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{5 + 2 x}$

Langkah 13

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x]))}{5 + 2 x}$

Langkah 14

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x])}{5 + 2 x}$

Langkah 15

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{5 + 2 x}$

Langkah 16

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{2}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

Langkah 16.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{2}{2 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

Langkah 16.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x])}{5 + 2 x}$

Langkah 17

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) (\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{5 + 2 x}$

Langkah 18

Kalikan $\frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x + 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.1

Tambahkan tanda kurung.

$\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.2.2

Biarkan $u_{2} = {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ . Masukkan $u_{2}$ untuk semua kejadian ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.2.1

Pindahkan $u_{2}$ .

$\frac{\frac{3 (u_{2} \cdot u_{2}) - 3 x - 7}{u_{2}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.2.2.2

Kalikan $u_{2}$ dengan $u_{2}$ .

$\frac{\frac{3 {u_{2}}^{2} - 3 x - 7}{u_{2}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 {({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.4.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.4.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.2.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.2.4.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.2.4.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{3 {(5 + 2 x)}^{1} - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.2.4.1.2

Sederhanakan.

$\frac{\frac{3 (5 + 2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.2.4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\frac{3 \cdot 5 + 3 (2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.2.4.1.4

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{\frac{15 + 3 (2 x) - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.2.4.1.5

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{\frac{15 + 6 x - 3 x - 7}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.2.4.2

Kurangi $7$ dengan $15$ .

$\frac{\frac{6 x - 3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.2.4.3

Kurangi $3 x$ dengan $6 x$ .

$\frac{\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$

Langkah 19.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.1

Tulis kembali $\frac{\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}}{5 + 2 x}$ sebagai hasil kali.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{5 + 2 x}$

Langkah 19.3.2

Kalikan $\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{5 + 2 x}$ .

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (5 + 2 x)}$

Langkah 19.3.3

Kalikan ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $5 + 2 x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.3.1

Kalikan ${(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $5 + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.3.3.1.1

Naikkan $5 + 2 x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2}} {(5 + 2 x)}^{1}}$

Langkah 19.3.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Langkah 19.3.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Langkah 19.3.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Langkah 19.3.3.4

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{3 x + 8}{{(5 + 2 x)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 19.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{3 x + 8}{{(2 x + 5)}^{\frac{3}{2}}}$