Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} (x^{3} + x) {(x^{4} + 2 x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Kemudian $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2} + 9]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 2 x^{2} + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 x^{3} + 4 x + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $4 x^{3} + 4 x$ dan $0$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0^{2} + 9$

Langkah 1.3.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 9$

Langkah 1.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 9$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $0$ dan $9$ .

$u_{lower} = 9$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{4} + 2 x^{2} + 9$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1^{2} + 9$

Langkah 1.5.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 + 9$

Langkah 1.5.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 + 9$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$u_{upper} = 3 + 9$

Langkah 1.5.3

Tambahkan $3$ dan $9$ .

$u_{upper} = 12$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 12$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} d u$

Langkah 2

Gabungkan $u^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\int_{9}^{12} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{4} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int_{9}^{12} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{12}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $12$ dan pada $9$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 12^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $12^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Langkah 5.2.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

Langkah 5.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

Langkah 5.2.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

Langkah 5.2.6

Kalikan $27$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

Langkah 5.2.7

Gabungkan $- 27$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

Langkah 5.2.8

Kalikan $- 27$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

Langkah 5.2.9

Hapus faktor persekutuan dari $- 54$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.9.1

Faktorkan $3$ dari $- 54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

Langkah 5.2.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.9.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

Langkah 5.2.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

Langkah 5.2.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

Langkah 5.2.9.2.4

Bagilah $- 18$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 12^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{4} \cdot - 18$

Langkah 6.2

Gabungkan.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{4} \cdot - 18$

Langkah 6.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 (2)} \cdot - 18$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 18$ .

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 9)$

Langkah 6.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 9)$

Langkah 6.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot - 9$

Langkah 6.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 9$ .

$\frac{1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})}{4 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 6.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Faktorkan $2$ dari $1 (2 \cdot 12^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{4 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 6.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 \cdot 3$ .

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{2 (2 \cdot 3)} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 6.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (1 \cdot (12^{\frac{3}{2}}))}{2 (2 \cdot 3)} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 6.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 \cdot (12^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 6.5.3

Kalikan $12^{\frac{3}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 6.5.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} + \frac{- 9}{2}$

Langkah 6.5.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{9}{2}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{12^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{9}{2}$

Bentuk Desimal:

$2.42820323 \dots$

Langkah 8