Kalkulus Contoh

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{6}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- \frac{1}{6}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{6} x^{6}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$- \frac{1}{6} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{6}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 6}{6} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Langkah 1.1.2.5

Gabungkan $\frac{- 6}{6}$ dan $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Langkah 1.1.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Faktorkan $6$ dari $- 6 x^{5}$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Langkah 1.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.2.1

Faktorkan $6$ dari $6$ .

$\frac{6 (- x^{5})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Langkah 1.1.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 (- x^{5})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Langkah 1.1.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Langkah 1.1.2.6.2.4

Bagilah $- x^{5}$ dengan $1$ .

$- x^{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- x^{5} - 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$- x^{5} - 2 (5 x^{4})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $5$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = - x^{5} - 10 x^{4}$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{5} - 10 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{5}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 10 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 10 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- 5 x^{4} - 10 (4 x^{3})$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 10$ .

$f'' (x) = - 5 x^{4} - 40 x^{3}$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 5 x^{4} - 40 x^{3}$ .

$- 5 x^{4} - 40 x^{3}$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 5 x^{4} - 40 x^{3} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 5 x^{4} - 40 x^{3} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $- 5 x^{3}$ dari $- 5 x^{4} - 40 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $- 5 x^{3}$ dari $- 5 x^{4}$ .

$- 5 x^{3} x - 40 x^{3} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $- 5 x^{3}$ dari $- 40 x^{3}$ .

$- 5 x^{3} x - 5 x^{3} \cdot 8 = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $- 5 x^{3}$ dari $- 5 x^{3} (x) - 5 x^{3} (8)$ .

$- 5 x^{3} (x + 8) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{3} = 0$

$x + 8 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x^{3}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{3}$ sama dengan $0$ .

$x^{3} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{3} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[3]{0}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x + 8$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 8$ sama dengan $0$ .

$x + 8 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 8$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 5 x^{3} (x + 8) = 0$ benar.

$x = 0, - 8$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot {(0)}^{6} - 2 {(0)}^{5}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{6} \cdot 0 - 2 {(0)}^{5}$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $- \frac{1}{6} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{6}) - 2 {(0)}^{5}$

Langkah 3.1.2.1.2.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{5}$

Langkah 3.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 3.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 3.3

Substitusikan $- 8$ dalam $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 8$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 8) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 8)}^{6} - 2 {(- 8)}^{5}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $6$ .

$f (- 8) = - \frac{1}{6} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{6}$ ke dalam pembilangnya.

$f (- 8) = \frac{- 1}{6} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.2.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 262144 - 2 {(- 8)}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.2.3

Faktorkan $2$ dari $262144$ .

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 131072) - 2 {(- 8)}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- 8) = \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 131072) - 2 {(- 8)}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- 8) = \frac{- 1}{3} \cdot 131072 - 2 {(- 8)}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.3

Gabungkan $\frac{- 1}{3}$ dan $131072$ .

$f (- 8) = \frac{- 1 \cdot 131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $131072$ .

$f (- 8) = \frac{- 131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} - 2 {(- 8)}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.6

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $5$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} - 2 \cdot - 32768$

Langkah 3.3.2.1.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 32768$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + 65536$

Langkah 3.3.2.2

Untuk menuliskan $65536$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + 65536 \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan $65536$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = - \frac{131072}{3} + \frac{65536 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- 8) = \frac{- 131072 + 65536 \cdot 3}{3}$

Langkah 3.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Kalikan $65536$ dengan $3$ .

$f (- 8) = \frac{- 131072 + 196608}{3}$

Langkah 3.3.2.5.2

Tambahkan $- 131072$ dan $196608$ .

$f (- 8) = \frac{65536}{3}$

Langkah 3.3.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{65536}{3}$ .

$\frac{65536}{3}$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 8$ dalam $f (x) = - \frac{1}{6} x^{6} - 2 x^{5}$ adalah $(- 8, \frac{65536}{3})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 8, \frac{65536}{3})$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (- 8, \frac{65536}{3})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 8)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 8.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 8.1) = - 5 {(- 8.1)}^{4} - 40 {(- 8.1)}^{3}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 8.1$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 8.1) = - 5 \cdot 4304.6721 - 40 {(- 8.1)}^{3}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 5$ dengan $4304.6721$ .

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 - 40 {(- 8.1)}^{3}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $- 8.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 - 40 \cdot - 531.441$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $- 40$ dengan $- 531.441$ .

$f'' (- 8.1) = - 21523.3605 + 21257.64$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 21523.3605$ dan $21257.64$ .

$f'' (- 8.1) = - 265.7205$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 265.7205$ .

$- 265.7205$

Langkah 5.3

Pada $- 8.1$ , turunan kedua adalah $- 265.7205$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - 8)$

Menurun pada $(- \infty, - 8)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 8, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 4) = - 5 {(- 4)}^{4} - 40 {(- 4)}^{3}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 4) = - 5 \cdot 256 - 40 {(- 4)}^{3}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 5$ dengan $256$ .

$f'' (- 4) = - 1280 - 40 {(- 4)}^{3}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 4) = - 1280 - 40 \cdot - 64$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 40$ dengan $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 2560$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 1280$ dan $2560$ .

$f'' (- 4) = 1280$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1280$ .

$1280$

Langkah 6.3

Pada $- 4$ , turunan keduanya adalah $1280$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- 8, 0)$ .

Meningkat pada $(- 8, 0)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = - 5 {(0.1)}^{4} - 40 {(0.1)}^{3}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (0.1) = - 5 \cdot 0.0001 - 40 {(0.1)}^{3}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 5$ dengan $0.0001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 40 {(0.1)}^{3}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 40 \cdot 0.001$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $- 40$ dengan $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.0005 - 0.04$

Langkah 7.2.2

Kurangi $0.04$ dengan $- 0.0005$ .

$f'' (0.1) = - 0.0405$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.0405$ .

$- 0.0405$

Langkah 7.3

Pada $0.1$ , turunan kedua adalah $- 0.0405$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(0, \infty)$

Menurun pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(- 8, \frac{65536}{3}), (0, 0)$ .

$(- 8, \frac{65536}{3}), (0, 0)$

Langkah 9