Kalkulus Contoh

$y = \sqrt[3]{x^{2}} (2 x - x^{2})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x^{2}}$ sebagai $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}} (2 x - x^{2})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ dan $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

$x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}] + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - (2 x)) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Langkah 7.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Langkah 8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 10

Pindahkan $x^{- \frac{1}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{2}{3}} (2 - 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + (2 x - x^{2}) \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{\frac{2}{3}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- 2 x) + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.2

Kalikan $x^{\frac{2}{3}}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Pindahkan $x$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + x \cdot x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{\frac{2}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{1} x^{\frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{1 + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.2.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{3 + 2}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.2.5

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{5}{3}} \cdot - 2 + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.3

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $x^{\frac{5}{3}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{5}{3}} + 2 x \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + x \frac{2 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + x \frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.6

Gabungkan $x$ dan $\frac{4}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{x \cdot 4}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.7

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 \cdot x}{3 x^{\frac{1}{3}}} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.8

Pindahkan $x^{\frac{1}{3}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x \cdot x^{- \frac{1}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.9

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.9.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{3}} x)}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.9.2

Kalikan $x^{- \frac{1}{3}}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.9.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 (x^{- \frac{1}{3}} x^{1})}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.9.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{3} + 1}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.9.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.9.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{- 1 + 3}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.9.5

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - x^{2} \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.10

Gabungkan $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ dan $x^{2}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{2}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 11.3.11

Pindahkan $x^{\frac{1}{3}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{2} x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.12

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{- \frac{1}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.12.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 (x^{- \frac{1}{3}} x^{2})}{3}$

Langkah 11.3.12.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2}}{3}$

Langkah 11.3.12.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.12.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.12.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 3}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.12.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.12.6.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{- 1 + 6}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.12.6.2

Tambahkan $- 1$ dan $6$ .

$2 x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.13

Untuk menuliskan $2 x^{\frac{2}{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + 2 x^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.14

Gabungkan $2 x^{\frac{2}{3}}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 x^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.16

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{6 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.17

Tambahkan $6 x^{\frac{2}{3}}$ dan $4 x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.18

Untuk menuliskan $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.19

Gabungkan $- 2 x^{\frac{5}{3}}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.20

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.21

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{5}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.22

Kurangi $2 x^{\frac{5}{3}}$ dengan $- 6 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{- 8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Langkah 11.3.23

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3} + \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3}$

Langkah 11.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{8 x^{\frac{5}{3}}}{3}$