Kalkulus Contoh

\frac{x^{2} - 1}{x}

$\frac{x^{2} - 1}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana

f (x) = x^{2} - 1

$f (x) = x^{2} - 1$ dan

g (x) = x

$g (x) = x$ .

\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ terhadap

x

$x$ adalah

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 2

$n = 2$ .

\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2.3

Karena

- 1

$- 1$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

- 1

$- 1$ terhadap

x

$x$ adalah

0

$0$ .

\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.2.4

Tambahkan

2 x

$2 x$ dan

0

$0$ .

\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.3

Naikkan

x

$x$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.4

Naikkan

x

$x$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.5

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.6

Tambahkan

1

$1$ dan

1

$1$ .

\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Langkah 1.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \cdot 1}{x^{2}}

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Langkah 1.8

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

1

$1$ .

\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1)}{x^{2}}

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1)}{x^{2}}$

Langkah 1.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Terapkan sifat distributif.

\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 1}{x^{2}}

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 1}{x^{2}}$

Langkah 1.9.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.2.1

Kalikan

- 1

$- 1$ dengan

- 1

$- 1$ .

\frac{2 x^{2} - x^{2} + 1}{x^{2}}

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 1}{x^{2}}$

Langkah 1.9.2.2

Kurangi

x^{2}

$x^{2}$ dengan

2 x^{2}

$2 x^{2}$ .

f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana

f (x) = x^{2} + 1

$f (x) = x^{2} + 1$ dan

g (x) = x^{2}

$g (x) = x^{2}$ .

\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan eksponen dalam

{(x^{2})}^{2}

${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan

2

$2$ dengan

2

$2$ .

\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

x^{2} + 1

$x^{2} + 1$ terhadap

x

$x$ adalah

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 2

$n = 2$ .

\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.2.4

Karena

1

$1$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

1

$1$ terhadap

x

$x$ adalah

0

$0$ .

\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.2.5

Tambahkan

2 x

$2 x$ dan

0

$0$ .

\frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

\frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.3

Kalikan

x^{2}

$x^{2}$ dengan

x

$x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Pindahkan

x

$x$ .

\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.3.2

Kalikan

x

$x$ dengan

x^{2}

$x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Naikkan

x

$x$ menjadi pangkat

1

$1$ .

\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.3.3

Tambahkan

1

$1$ dan

2

$2$ .

\frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

\frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.4

Pindahkan

2

$2$ ke sebelah kiri

x^{3}

$x^{3}$ .

\frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}

$\frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 2

$n = 2$ .

\frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}

$\frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}$

Langkah 2.6

Kalikan

2

$2$ dengan

- 1

$- 1$ .

\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$

Langkah 2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Terapkan sifat distributif.

\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.2

Terapkan sifat distributif.

\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1.1

Kalikan

x^{2}

$x^{2}$ dengan

x

$x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1.1.1

Pindahkan

x

$x$ .

\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.1.1.2

Kalikan

x

$x$ dengan

x^{2}

$x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.3.1.1.2.1

Naikkan

x

$x$ menjadi pangkat

$1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.1.1.3

Tambahkan

$1$ dan

$2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.1.2

Kalikan

$- 2$ dengan

$1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.2

Kurangi

$2 x^{3}$ dengan

$2 x^{3}$ .

$\frac{0 - 2 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.3.3

Kurangi

$2 x$ dengan

$0$ .

$\frac{- 2 x}{x^{4}}$

Langkah 2.7.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.4.1

Hapus faktor persekutuan dari

$x$ dan

$x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.4.1.1

Faktorkan

$x$ dari

$- 2 x$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

Langkah 2.7.4.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.4.1.2.1

Faktorkan

$x$ dari

$x^{4}$ .

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.7.4.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 2.7.4.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Langkah 2.7.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$