Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} + 4 x^{2} + 1$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 4 x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.2.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 x^{3} + 8 x + 0$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $4 x^{3} + 8 x$ dan $0$ .

$4 x^{3} + 8 x$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} + 8 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Langkah 2.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

Langkah 2.3.3

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 8$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$4 x^{3} + 8 x = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 4 x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 x^{3} + 8 x + 0$

Langkah 4.1.3.2

Tambahkan $4 x^{3} + 8 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 8 x$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{3} + 8 x$ .

$4 x^{3} + 8 x$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{3} + 8 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 x^{3} + 8 x = 0$

Langkah 5.2

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3} + 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) + 8 x = 0$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $4 x$ dari $8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (2) = 0$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $4 x$ dari $4 x (x^{2}) + 4 x (2)$ .

$4 x (x^{2} + 2) = 0$

Langkah 5.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Langkah 5.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.5

Atur $x^{2} + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Atur $x^{2} + 2$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Langkah 5.5.2

Selesaikan $x^{2} + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 2$

Langkah 5.5.2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Langkah 5.5.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Tulis kembali $- 2$ sebagai $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Langkah 5.5.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (2)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Langkah 5.5.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Langkah 5.5.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i \sqrt{2}$

Langkah 5.5.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i \sqrt{2}$

Langkah 5.5.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Langkah 5.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 x (x^{2} + 2) = 0$ benar.

$x = 0, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$12 {(0)}^{2} + 8$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$12 \cdot 0 + 8$

Langkah 9.1.2

Kalikan $12$ dengan $0$ .

$0 + 8$

Langkah 9.2

Tambahkan $0$ dan $8$ .

$8$

Langkah 10

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{2} + 1$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{2} + 1$

Langkah 11.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 + 1$

Langkah 11.2.1.3

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Langkah 11.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Langkah 11.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f (0) = 1$

Langkah 11.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$y = 1$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x^{4} + 4 x^{2} + 1$ .

$(0, 1)$ adalah minimum lokal

Langkah 13