Kalkulus Contoh

$\int \frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 1

Pisahkan pecahan $\frac{2 x + 1}{9 + 16 x^{2}}$ menjadi dua pecahan.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} + \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{2 x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{x}{9 + 16 x^{2}} d x + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = 9 + 16 x^{2}$ . Kemudian $d u = 32 x d x$ sehingga $\frac{1}{32} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 9 + 16 x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [9 + 16 x^{2}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 + 16 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Langkah 4.1.2.2

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [16 x^{2}]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [16 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 + 16 (2 x)$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$0 + 32 x$

Langkah 4.1.4

Tambahkan $0$ dan $32 x$ .

$32 x$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{32}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 32} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 5.2

Pindahkan $32$ ke sebelah kiri $u$ .

$2 \int \frac{1}{32 u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{32}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{32}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{32} \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{32}$ dan $2$ .

$\frac{2}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 7.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $32$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{32} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $32$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{9 + 16 x^{2}} d x$

Langkah 9

Faktorkan $16$ dari $9 + 16 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan $16$ dari $9$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 x^{2}} d x$

Langkah 9.2

Faktorkan $16$ dari $16 x^{2}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})} d x$

Langkah 9.3

Faktorkan $16$ dari $16 (\frac{9}{16}) + 16 (x^{2})$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \int \frac{1}{16 (\frac{9}{16} + x^{2})} d x$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{16}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{16}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{\frac{9}{16} + x^{2}} d x$

Langkah 11

Tulis kembali $\frac{9}{16}$ sebagai ${(\frac{3}{4})}^{2}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}} d x$

Langkah 12

Integral dari $\frac{1}{{(\frac{3}{4})}^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{1}{\frac{3}{4}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (1 (\frac{4}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Langkah 13.1.2

Kalikan $\frac{4}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{4}}) + C)$

Langkah 13.1.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (x \frac{4}{3}) + C)$

Langkah 13.1.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{x \cdot 4}{3}) + C)$

Langkah 13.1.5

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4}{3} \arctan (\frac{4 \cdot x}{3}) + C)$

Langkah 13.1.6

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $\arctan (\frac{4 x}{3})$ .

$\frac{1}{16} (\ln (| u |) + C) + \frac{1}{16} (\frac{4 \arctan (\frac{4 x}{3})}{3} + C)$

Langkah 13.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{16} \cdot \frac{4}{3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Langkah 13.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Kalikan $\frac{1}{16}$ dengan $\frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{16 \cdot 3} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Langkah 13.3.2

Kalikan $16$ dengan $3$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Langkah 13.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $48$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.3.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 (1)}{48} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Langkah 13.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $48$ .

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Langkah 13.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Langkah 13.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{16} \ln (| u |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $9 + 16 x^{2}$ .

$\frac{1}{16} \ln (| 9 + 16 x^{2} |) + \frac{1}{12} \arctan (\frac{4}{3} x) + C$