Kalkulus Contoh

\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}

$\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Langkah 1

Tulis kembali

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}]$ sebagai

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali

$x^{3} + 3 x^{2}$ sebagai

$x^{2} (x + 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan

$x^{2}$ dari

$x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}]$

Langkah 1.1.2

Faktorkan

$x^{2}$ dari

$3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}]$

Langkah 1.1.3

Faktorkan

$x^{2}$ dari

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} (x + 3)}]$

Langkah 1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x + 3}]$

Langkah 2

Gunakan

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali

$\sqrt{x + 3}$ sebagai

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana

$f (x) = x$ dan

$g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah

$f' (g (x)) g' (x)$ di mana

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan

$g (x) = x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur

$u$ sebagai

$x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah

$n u^{n - 1}$ di mana

$n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan

$u$ dengan

$x + 3$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5

Untuk menuliskan

$- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6

Gabungkan

$- 1$ dan

$\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan

$- 1$ dengan

$2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.2

Kurangi

$2$ dengan

$1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 9.2

Gabungkan

$\frac{1}{2}$ dan

${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 9.3

Pindahkan

${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 9.4

Gabungkan

$\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ dan

$x$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3] + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

$x + 3$ terhadap

$x$ adalah

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 12

Karena

$3$ konstan terhadap

$x$ , turunan dari

$3$ terhadap

$x$ adalah

$0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Tambahkan

$1$ dan

$0$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13.2

Kalikan

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan

$1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

$n x^{n - 1}$ di mana

$n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Langkah 15

Kalikan

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ dengan

$1$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 16

Untuk menuliskan

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan

$\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 17

Gabungkan

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ dan

$\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19

Kalikan

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ dengan

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Pindahkan

${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.2

Gunakan kaidah pangkat

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.4

Tambahkan

$1$ dan

$1$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 19.5

Bagilah

$2$ dengan

$2$ .

$\frac{x + {(x + 3)}^{1} \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 20

Sederhanakan

${(x + 3)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x + 3) \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 21

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$x + 3$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x + 3)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.2.1

Kalikan

$2$ dengan

$3$ .

$\frac{x + 2 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.2.2

Tambahkan

$x$ dan

$2 x$ .

$\frac{3 x + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3

Faktorkan

$3$ dari

$3 x + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.3.1

Faktorkan

$3$ dari

$3 x$ .

$\frac{3 (x) + 6}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3.2

Faktorkan

$3$ dari

$6$ .

$\frac{3 x + 3 \cdot 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 22.3.3

Faktorkan

$3$ dari

$3 x + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$