Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x - 1}$ sebagai ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ sebagai ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Langkah 4.1.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Langkah 4.1.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Langkah 4.1.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.6.2

Kurangi $3$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.7.2

Gabungkan ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.7.3

Pindahkan ${(x - 1)}^{- \frac{4}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 4.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 4.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 4.10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Langkah 4.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Langkah 4.11.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$