Kalkulus Contoh

$y = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

Langkah 1

Tulis $y = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.6

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$- e^{- x} + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$- e^{- x} + 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.3.8

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.3.9

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.3.10

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$

Langkah 2.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ adalah $a^{u_{3}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $- x$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.4.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)$

Langkah 2.1.4.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)$

Langkah 2.1.4.7

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Langkah 2.1.4.8

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Langkah 2.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$- e^{- x} + 2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Langkah 2.1.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- e^{- x} - 2 (x (e^{- x})) + 2 e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Langkah 2.1.5.2.2

Tambahkan $- e^{- x}$ dan $2 e^{- x}$ .

$- 2 x e^{- x} + e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)$

Langkah 2.1.5.2.3

Tambahkan $- 2 x e^{- x}$ dan $e^{- x} (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.2.3.1

Pindahkan $e^{- x}$ .

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) - 2 x e^{- x} + 2 x e^{- x}$

Langkah 2.1.5.2.3.2

Tambahkan $- 2 x e^{- x}$ dan $2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x}) + 0$

Langkah 2.1.5.2.4

Tambahkan $e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$ dan $0$ .

$e^{- x} + x^{2} (- e^{- x})$

Langkah 2.1.5.3

Susun kembali suku-suku.

$- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$

Langkah 2.1.5.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{- x} x^{2} + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + e^{- x}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{2} e^{- x} + e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2} e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.2.2.2

$- (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- x$ .

$- (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x$ .

$- (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.2.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.2.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.2.2.8

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.2.2.9

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.2.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 2.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 2.2.3.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 1 \cdot e^{- x}$

Langkah 2.2.3.6

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$- (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$- (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Langkah 2.2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Langkah 2.2.4.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - e^{- x}$

Langkah 2.2.4.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

Langkah 2.2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$

Langkah 2.2.4.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $e^{- x}$ dari $x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} - e^{- x} = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- 2 x e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) - e^{- x} = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- e^{- x}$ .

$e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

Langkah 3.2.4

Faktorkan $e^{- x}$ dari $e^{- x} x^{2} + e^{- x} (- 2 x)$ .

$e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1 = 0$

Langkah 3.2.5

Faktorkan $e^{- x}$ dari $e^{- x} (x^{2} - 2 x) + e^{- x} \cdot - 1$ .

$e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{- x} = 0$

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Langkah 3.4

Atur $e^{- x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $e^{- x}$ sama dengan $0$ .

$e^{- x} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $e^{- x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Langkah 3.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.5

Atur $x^{2} - 2 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x^{2} - 2 x - 1$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.5.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 2$ , dan $c = - 1$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.3.1.3

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.3.1.4

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.3.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.3.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.3.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.5.2.3.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Langkah 3.5.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.4.1.3

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.4.1.4

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.4.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.4.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.5.2.4.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Langkah 3.5.2.4.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Langkah 3.5.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.5.1.3

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.5.1.4

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.5.1.4.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.5.1.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.5.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.5.2.5.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Langkah 3.5.2.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Langkah 3.5.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{- x} (x^{2} - 2 x - 1) = 0$ benar.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1 + \sqrt{2}$ dalam $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $1 + \sqrt{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- (1 + \sqrt{2})} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 (1 + \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 + \sqrt{2})} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.7

Terapkan sifat distributif.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + {(1 + \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.8

Tulis kembali ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ sebagai $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.9

Perluas $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.9.1

Terapkan sifat distributif.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.9.2

Terapkan sifat distributif.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.9.3

Terapkan sifat distributif.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.10

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.10.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.10.1.2

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.10.1.3

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.10.1.4

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.10.1.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.10.1.6

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.10.1.7

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.10.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.10.3

Tambahkan $\sqrt{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- (1 + \sqrt{2})}$

Langkah 4.1.2.1.11

Terapkan sifat distributif.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 - \sqrt{2}}$

Langkah 4.1.2.1.12

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + (3 + 2 \sqrt{2}) e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Langkah 4.1.2.1.13

Terapkan sifat distributif.

$f (1 + \sqrt{2}) = e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Tambahkan $e^{- 1 - \sqrt{2}}$ dan $2 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Langkah 4.1.2.2.2

Tambahkan $3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ dan $3 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Langkah 4.1.2.2.3

Tambahkan $2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ dan $2 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $1 + \sqrt{2}$ dalam $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ adalah $(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

Langkah 4.3

Substitusikan $1 - \sqrt{2}$ dalam $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $1 - \sqrt{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- (1 - \sqrt{2})} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.3

Kalikan $- - \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.3.2

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 (1 - \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.4

Terapkan sifat distributif.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 \cdot 1 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 + 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- (1 - \sqrt{2})} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.7

Terapkan sifat distributif.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.9

Kalikan $- - \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + 1 \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.9.2

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.10

Terapkan sifat distributif.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + {(1 - \sqrt{2})}^{2} e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.11

Tulis kembali ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ sebagai $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.12

Perluas $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.12.1

Terapkan sifat distributif.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.12.2

Terapkan sifat distributif.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.12.3

Terapkan sifat distributif.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.13.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.13.1.1

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.2

Kalikan $- \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.4

Kalikan $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.13.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.4.2

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.4.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.4.4

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.4.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.4.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.5

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.13.1.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.5.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.13.1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.1.5.5

Evaluasi eksponennya.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.13.3

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- (1 - \sqrt{2})}$

Langkah 4.3.2.1.14

Terapkan sifat distributif.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 \cdot 1 + \sqrt{2}}$

Langkah 4.3.2.1.15

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Langkah 4.3.2.1.16

Kalikan $- - \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.16.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + 1 \sqrt{2}}$

Langkah 4.3.2.1.16.2

Kalikan $\sqrt{2}$ dengan $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + (3 - 2 \sqrt{2}) e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Langkah 4.3.2.1.17

Terapkan sifat distributif.

$f (1 - \sqrt{2}) = e^{- 1 + \sqrt{2}} + 2 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Tambahkan $e^{- 1 + \sqrt{2}}$ dan $2 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 3 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Langkah 4.3.2.2.2

Tambahkan $3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ dan $3 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Langkah 4.3.2.2.3

Kurangi $2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ dengan $- 2 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Langkah 4.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$ .

$- 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $1 - \sqrt{2}$ dalam $f (x) = e^{- x} + 2 x e^{- x} + x^{2} e^{- x}$ adalah $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}}), (1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 1 - \sqrt{2}) \cup (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) \cup (1 + \sqrt{2}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.51421356$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.51421356) = {(- 0.51421356)}^{2} e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 0.51421356$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{- (- 0.51421356)} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.26441558 e^{0.51421356} - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $0.26441558$ dengan $e^{0.51421356}$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 - 2 \cdot - 0.51421356 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{- (- 0.51421356)} - e^{- (- 0.51421356)}$

Langkah 6.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.02842712 \cdot e^{0.51421356} - e^{- (- 0.51421356)}$

Langkah 6.2.1.6

Kalikan $1.02842712$ dengan $e^{0.51421356}$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{- (- 0.51421356)}$

Langkah 6.2.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 0.51421356$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.44218821 + 1.71986213 - e^{0.51421356}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tambahkan $0.44218821$ dan $1.71986213$ .

$f'' (- 0.51421356) = 2.16205035 - e^{0.51421356}$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $e^{0.51421356}$ dengan $2.16205035$ .

$f'' (- 0.51421356) = 0.48972754$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.48972754$ .

$0.48972754$

Langkah 6.3

Pada $- 0.51421356$ , turunan keduanya adalah $0.48972754$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ .

Meningkat pada $(- \infty, 1 - \sqrt{2})$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1) = {(1)}^{2} e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1) = 1 e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $e^{- (1)}$ dengan $1$ .

$f'' (1) = e^{- (1)} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (1) = e^{- 1} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Langkah 7.2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot 1 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Langkah 7.2.1.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- (1)} - e^{- (1)}$

Langkah 7.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot e^{- 1} - e^{- (1)}$

Langkah 7.2.1.7

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 2 \cdot \frac{1}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Langkah 7.2.1.8

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{e^{1}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} + \frac{- 2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Langkah 7.2.1.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{e^{1}} - e^{- (1)}$

Langkah 7.2.1.10

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{{2.71828182}^{1}} - e^{- (1)}$

Langkah 7.2.1.11

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - \frac{2}{2.71828182} - e^{- (1)}$

Langkah 7.2.1.12

Bagilah $2$ dengan $2.71828182$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 1 \cdot 0.73575888 - e^{- (1)}$

Langkah 7.2.1.13

Kalikan $- 1$ dengan $0.73575888$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- (1)}$

Langkah 7.2.1.14

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - e^{- 1}$

Langkah 7.2.1.15

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1) = \frac{1}{e^{1}} - 0.73575888 - \frac{1}{e^{1}}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{1 - 1}{e^{1}}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f'' (1) = - 0.73575888 + \frac{0}{e^{1}}$

Langkah 7.2.2.2.2

Bagilah $0$ dengan $e^{1}$ .

$f'' (1) = - 0.73575888 + 0$

Langkah 7.2.2.2.3

Tambahkan $- 0.73575888$ dan $0$ .

$f'' (1) = - 0.73575888$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.73575888$ .

$- 0.73575888$

Langkah 7.3

Pada $1$ , turunan kedua adalah $- 0.73575888$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$

Menurun pada $(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.51421356$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.51421356) = {(2.51421356)}^{2} e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $2.51421356$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- (2.51421356)} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 e^{- 2.51421356} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 6.32126983 (\frac{1}{e^{2.51421356}}) - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.4

Gabungkan $6.32126983$ dan $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ .

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{e^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.5

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{{2.71828182}^{2.51421356}} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.6

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = \frac{6.32126983}{12.35688703} - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.7

Bagilah $6.32126983$ dengan $12.35688703$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 2 \cdot 2.51421356 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.8

Kalikan $- 2$ dengan $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- (2.51421356)} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot e^{- 2.51421356} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.10

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 5.02842712 \cdot \frac{1}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.11

Gabungkan $- 5.02842712$ dan $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 + \frac{- 5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{e^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.13

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{{2.71828182}^{2.51421356}} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.14

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - \frac{5.02842712}{12.35688703} - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.15

Bagilah $5.02842712$ dengan $12.35688703$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 1 \cdot 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.16

Kalikan $- 1$ dengan $0.40693316$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- (2.51421356)}$

Langkah 8.2.1.17

Kalikan $- 1$ dengan $2.51421356$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - e^{- 2.51421356}$

Langkah 8.2.1.18

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (2.51421356) = 0.51155843 - 0.40693316 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kurangi $0.40693316$ dengan $0.51155843$ .

$f'' (2.51421356) = 0.10462527 - \frac{1}{e^{2.51421356}}$

Langkah 8.2.2.2

Kurangi $\frac{1}{e^{2.51421356}}$ dengan $0.10462527$ .

$f'' (2.51421356) = 0.02369874$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.02369874$ .

$0.02369874$

Langkah 8.3

Pada $2.51421356$ , turunan keduanya adalah $0.02369874$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ .

Meningkat pada $(1 + \sqrt{2}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$ .

$(1 - \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2} e^{- 1 + \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 + \sqrt{2}}), (1 + \sqrt{2}, 4 \sqrt{2} e^{- 1 - \sqrt{2}} + 6 e^{- 1 - \sqrt{2}})$

Langkah 10