Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{2} \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = x^{2} + 2 x + 1$ . Kemudian $d u = (2 x + 2) d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = x^{2} + 2 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $2 x + 2$ dan $0$ .

$2 x + 2$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x^{2} + 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 + 1$

Langkah 1.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Langkah 1.3.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x^{2} + 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 2 \cdot 2 + 1$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = 4 + 2 \cdot 2 + 1$

Langkah 1.5.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4 + 1$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$u_{upper} = 8 + 1$

Langkah 1.5.3

Tambahkan $8$ dan $1$ .

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $9$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{2} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.4

Evaluasi eksponennya.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.5

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} (6 - 2 \cdot 1)$

Langkah 6.2.7

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (6 - 2)$

Langkah 6.2.8

Kurangi $2$ dengan $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4$

Langkah 6.2.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\frac{4}{2}$

Langkah 6.2.10

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.10.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.10.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Langkah 6.2.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.2.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1}$

Langkah 6.2.10.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 7