Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Langkah 1.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.4.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.4.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.4.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.4.2.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Langkah 1.4.4

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Langkah 1.4.4.2

Faktorkan $x$ dari $x - 2 \ln (x) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Langkah 1.4.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Langkah 1.4.4.2.3

Faktorkan $x$ dari $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Langkah 1.4.4.2.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Langkah 1.6

Sederhanakan $- 2 \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{{(x^{3})}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{3 \cdot 2}}$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \ln (x^{2})$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.2.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.2.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} \frac{d}{d x} (- \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \ln (x^{2})$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} \ln (x^{2})) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.3.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}))) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.4.2.2.4

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x \frac{d}{d x} x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x (2 x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.4.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x \cdot x - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x) - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} x^{3}}{x^{6}}$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - (1 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Langkah 2.10

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Langkah 2.10.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 2 x^{2} - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Langkah 2.10.2.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 3 (1 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Langkah 2.10.2.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (1 - \ln (x^{2})))$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Langkah 2.11

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Langkah 2.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Langkah 2.11.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 (1 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Langkah 2.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 \cdot 1 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Langkah 2.12.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.2.1.1

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Langkah 2.12.2.1.2

Kalikan $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + 3 \ln (x^{2})}{x^{4}}$

Langkah 2.12.2.1.2.2

Sederhanakan $3 \ln (x^{2})$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{x^{4}}$

Langkah 2.12.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.12.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{x^{4}}$

Langkah 2.12.2.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 - 3 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Langkah 2.12.2.2

Kurangi $3$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Langkah 2.12.3

Tulis kembali $- 5$ sebagai $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 + \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Langkah 2.12.4

Faktorkan $- 1$ dari $\ln (x^{6})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - 1 (- \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Langkah 2.12.5

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (5) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 - \ln (x^{6}))}{x^{4}}$

Langkah 2.12.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{5 - \ln (x^{6})}{x^{4}}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Langkah 4.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 4.1.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 4.1.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 4.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 4.1.4.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 4.1.4.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 4.1.4.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{x}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 4.1.4.2.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\frac{x - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Langkah 4.1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x - \ln (x) (2 x)}{x^{4}}$

Langkah 4.1.4.4

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Langkah 4.1.4.4.2

Faktorkan $x$ dari $x - 2 \ln (x) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{1} - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Langkah 4.1.4.4.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 2 \ln (x) x}{x^{4}}$

Langkah 4.1.4.4.2.3

Faktorkan $x$ dari $- 2 \ln (x) x$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Langkah 4.1.4.4.2.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 1 + x (- 2 \ln (x))$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x^{4}}$

Langkah 4.1.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 4.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (1 - 2 \ln (x))}{x \cdot x^{3}}$

Langkah 4.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 - 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Langkah 4.1.6

Sederhanakan $- 2 \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Langkah 5.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 - \ln (x^{2}) = 0$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \ln (x^{2}) = - 1$

Langkah 5.3.2

Bagi setiap suku pada $- \ln (x^{2}) = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (x^{2}) = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.2.2.2

Bagilah $\ln (x^{2})$ dengan $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 5.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 1$

Langkah 5.3.3

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{1}$

Langkah 5.3.4

Tulis kembali $\ln (x^{2}) = 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2}$

Langkah 5.3.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x^{2} = e^{1}$ .

$x^{2} = e$

Langkah 5.3.5.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{e^{1}}$

Langkah 5.3.5.3

Sederhanakan.

$x = \pm \sqrt{e}$

Langkah 5.3.5.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{e}$

Langkah 5.3.5.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{e}$

Langkah 5.3.5.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{e}, - \sqrt{e}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur penyebut dalam $\frac{1 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{3} = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[3]{0}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 6.2.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 6.3

Atur argumen dalam $\ln (x^{2})$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} \leq 0$

Langkah 6.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Langkah 6.4.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1

Sederhanakan $\sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Langkah 6.4.2.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \leq | 0 |$

Langkah 6.4.2.2.1.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $0$ adalah $0$ .

$| x | \leq 0$

Langkah 6.4.3

Tulis $| x | \leq 0$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 6.4.3.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x \leq 0$

Langkah 6.4.3.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 6.4.3.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x \leq 0$

Langkah 6.4.3.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Langkah 6.4.4

Tentukan irisan dari $x \leq 0$ dan $x \geq 0$ .

$x = 0$

Langkah 6.4.5

Selesaikan $- x \leq 0$ ketika $x < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.5.1

Bagi setiap suku pada $- x \leq 0$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.5.1.1

Bagi setiap suku dalam $- x \leq 0$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Langkah 6.4.5.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.5.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Langkah 6.4.5.1.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Langkah 6.4.5.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.5.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 1$ .

$x \geq 0$

Langkah 6.4.5.2

Tentukan irisan dari $x \geq 0$ dan $x < 0$ .

Tidak ada penyelesaian

Langkah 6.4.6

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$x = 0$

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = \sqrt{e}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = \sqrt{e}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$- \frac{5 - \ln ({(\sqrt{e})}^{6})}{{(\sqrt{e})}^{4}}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tulis kembali ${\sqrt{e}}^{6}$ sebagai $e^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{e}$ sebagai $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{5 - \ln ({(e^{\frac{1}{2}})}^{6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Langkah 9.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{1}{2} \cdot 6})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Langkah 9.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{6}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Langkah 9.1.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Langkah 9.1.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Langkah 9.1.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Langkah 9.1.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{5 - \ln (e^{\frac{3}{1}})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Langkah 9.1.1.4.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$- \frac{5 - \ln (e^{3})}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Langkah 9.1.2

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $3$ keluar dari eksponen.

$- \frac{5 - (3 \ln (e))}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Langkah 9.1.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$- \frac{5 - (3 \cdot 1)}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Langkah 9.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- \frac{5 - 1 \cdot 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Langkah 9.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- \frac{5 - 3}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Langkah 9.1.6

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$- \frac{2}{{\sqrt{e}}^{4}}$

Langkah 9.2

Tulis kembali ${\sqrt{e}}^{4}$ sebagai $e^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{e}$ sebagai $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{4}}$

Langkah 9.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{1}{2} \cdot 4}}$

Langkah 9.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{4}{2}}}$

Langkah 9.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Langkah 9.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}$

Langkah 9.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2}{e^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}$

Langkah 9.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{2}{e^{\frac{2}{1}}}$

Langkah 9.2.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Langkah 10

$x = \sqrt{e}$ adalah maksimum lokal karena nilai dari turunan keduanya negatif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = \sqrt{e}$ adalah maksimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = \sqrt{e}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Ganti variabel $x$ dengan $\sqrt{e}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(\sqrt{e})}^{2}}$

Langkah 11.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Tulis kembali ${\sqrt{e}}^{2}$ sebagai $e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{e}$ sebagai $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 11.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 11.2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 11.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 11.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Langkah 11.2.1.5

Sederhanakan.

$f (\sqrt{e}) = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Langkah 11.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$ .

$y = \frac{\ln (\sqrt{e})}{e}$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$ .

$(\sqrt{e}, \frac{\ln (\sqrt{e})}{e})$ adalah maksimum lokal

Langkah 13