Kalkulus Contoh

$\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 4

Biarkan $x = \sin (t)$ , di mana $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Kemudian $d x = \cos (t) d t$ . Perhatikan bahwa karena $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positif.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Langkah 5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Terapkan identitas pythagoras.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Langkah 5.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Langkah 5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \sin^{3} (t) d t$

Langkah 6

Faktorkan $\sin^{2} (t)$ .

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Langkah 7

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\sin^{2} (t)$ sebagai $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Langkah 8

Biarkan $u = \cos (t)$ . Kemudian $d u = - \sin (t) d t$ sehingga $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = \cos (t)$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Langkah 8.1.2

Turunan dari $\cos (t)$ terhadap $t$ adalah $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Langkah 12

Sederhanakan.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Langkah 13

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (t)$ .

$- \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C$

Langkah 13.2

Ganti semua kemunculan $t$ dengan $\arcsin (x)$ .

$- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$

Langkah 14

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $- \cos (\arcsin (x)) + \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + C$