Kalkulus Contoh

$\int \frac{12 x^{2}}{2 x + 1} d x$

Langkah 1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $12$ keluar dari integral.

$12 \int \frac{x^{2}}{2 x + 1} d x$

Langkah 2

Bagilah $x^{2}$ dengan $2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 2.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

					$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Langkah 2.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$

Langkah 2.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{2} + \frac{x}{2}$

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$

Langkah 2.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$

Langkah 2.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$

Langkah 2.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- \frac{x}{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 x$ .

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$

Langkah 2.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$

Langkah 2.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- \frac{x}{2} - \frac{1}{4}$

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{4}$

Langkah 2.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$\frac{x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{x}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{x}{2}$	+	$\frac{1}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

Langkah 2.11

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$12 \int \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$12 (\int \frac{x}{2} d x + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$12 (\frac{1}{2} \int x d x + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} d x + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{1}{4} x + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Langkah 7.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \int \frac{1}{4 (2 x + 1)} d x)$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Langkah 9

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Langkah 9.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 9.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 9.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 9.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 9.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 9.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Langkah 10.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u} d u)$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u))$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 12.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 13

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) - \frac{x}{4} + C + \frac{1}{8} (\ln (| u |) + C))$

Langkah 14

Sederhanakan.

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| u |)}{8}) + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 1$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Untuk menuliskan $\frac{x^{2}}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Langkah 16.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.2.1

Kalikan $\frac{x^{2}}{4}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Langkah 16.2.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Langkah 16.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Langkah 16.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Langkah 16.5

Terapkan sifat distributif.

$12 (- \frac{x}{4}) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Langkah 16.6

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.6.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$12 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Langkah 16.6.2

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$4 (3) \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Langkah 16.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \cdot 3 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Langkah 16.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (- x) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Langkah 16.7

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 x + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Langkah 16.8

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.8.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$- 3 x + 4 (3) \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Langkah 16.8.2

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Langkah 16.8.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Langkah 16.8.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 3 x + 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Langkah 16.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

$- 3 x + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Langkah 16.10

Untuk menuliskan $- 3 x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- 3 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Langkah 16.11

Gabungkan $- 3 x$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 x \cdot 2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Langkah 16.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Langkah 16.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.13.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.13.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x \cdot 2$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Langkah 16.13.1.2

Faktorkan $3$ dari $3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2 + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Langkah 16.13.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 (- 2 x + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Langkah 16.14

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Langkah 16.15

Faktorkan $- 1$ dari $2 x^{2}$ .

$\frac{3 (- (2 x) - (- 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Langkah 16.16

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - (- 2 x^{2})$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Langkah 16.17

Faktorkan $- 1$ dari $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Langkah 16.18

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Langkah 16.19

Tulis kembali $- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ sebagai $- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Langkah 16.20

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Langkah 17

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{3}{2} (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$