Kalkulus Contoh

$9 x \cos (3 x)$

Langkah 1

Tulis $9 x \cos (3 x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = 9 x \cos (3 x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 9 x \cos (3 x) d x$

Langkah 4

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$9 \int x \cos (3 x) d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = \cos (3 x)$ .

$9 (x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sin (3 x)$ .

$9 (x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Langkah 6.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x)$

Langkah 6.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sin (3 x)$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{\sin (3 x)}{3} d x)$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x))$

Langkah 8

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 8.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u)$

Langkah 9

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u)$

Langkah 11.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u)$

Langkah 12

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$

Langkah 13

Tulis kembali $9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C))$ sebagai $9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9}) + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$9 (\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9}) + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan sifat distributif.

$9 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Langkah 15.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$3 (3) \frac{x \sin (3 x)}{3} + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Langkah 15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 3 \frac{x \sin (3 x)}{3} + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Langkah 15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (x \sin (3 x)) + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Langkah 15.3

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 (x \sin (3 x)) + 9 \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Langkah 15.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$3 (x \sin (3 x)) + \cos (3 x) + C$

$3 x \sin (3 x) + \cos (3 x) + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 9 x \cos (3 x)$ .

$F (x) =$ $3 x \sin (3 x) + \cos (3 x) + C$