Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{2} - x^{3}$ , $[1, \frac{5}{2}]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$6 x - (3 x^{2})$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$6 x - 3 x^{2}$

Langkah 1.1.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 x^{2} + 6 x$ .

$- 3 x^{2} + 6 x$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 3 x^{2} + 6 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $- 3 x$ dari $- 3 x^{2} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $- 3 x$ dari $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 6 x = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $- 3 x$ dari $6 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 2 = 0$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $- 3 x$ dari $- 3 x (x) - 3 x (- 2)$ .

$- 3 x (x - 2) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.5

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 3 x (x - 2) = 0$ benar.

$x = 0, 2$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $3 x^{2} - x^{3}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$3 {(0)}^{2} - {(0)}^{3}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3 \cdot 0 - {(0)}^{3}$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$0 - {(0)}^{3}$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - 0$

Langkah 1.4.1.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0 + 0$

Langkah 1.4.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$3 {(2)}^{2} - {(2)}^{3}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$3 \cdot 4 - {(2)}^{3}$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$12 - {(2)}^{3}$

Langkah 1.4.2.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$12 - 1 \cdot 8$

Langkah 1.4.2.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$12 - 8$

Langkah 1.4.2.2.2

Kurangi $8$ dengan $12$ .

$4$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0), (2, 4)$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(2, 4)$

Langkah 3

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$3 {(1)}^{2} - {(1)}^{3}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 \cdot 1 - {(1)}^{3}$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 - {(1)}^{3}$

Langkah 3.1.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$3 - 1 \cdot 1$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$3 - 1$

Langkah 3.1.2.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$2$

Langkah 3.2

Evaluasi pada $x = \frac{5}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $\frac{5}{2}$ untuk $x$ .

$3 {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5}{2}$ .

$3 \frac{5^{2}}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Langkah 3.2.2.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$3 \frac{25}{2^{2}} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Langkah 3.2.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$3 (\frac{25}{4}) - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Langkah 3.2.2.1.4

Kalikan $3 (\frac{25}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.4.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{25}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 25}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Langkah 3.2.2.1.4.2

Kalikan $3$ dengan $25$ .

$\frac{75}{4} - {(\frac{5}{2})}^{3}$

Langkah 3.2.2.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5}{2}$ .

$\frac{75}{4} - \frac{5^{3}}{2^{3}}$

Langkah 3.2.2.1.6

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{75}{4} - \frac{125}{2^{3}}$

Langkah 3.2.2.1.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{75}{4} - \frac{125}{8}$

Langkah 3.2.2.2

Untuk menuliskan $\frac{75}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{125}{8}$

Langkah 3.2.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $8$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.3.1

Kalikan $\frac{75}{4}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{75 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{125}{8}$

Langkah 3.2.2.3.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{75 \cdot 2}{8} - \frac{125}{8}$

Langkah 3.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{75 \cdot 2 - 125}{8}$

Langkah 3.2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.5.1

Kalikan $75$ dengan $2$ .

$\frac{150 - 125}{8}$

Langkah 3.2.2.5.2

Kurangi $125$ dengan $150$ .

$\frac{25}{8}$

Langkah 3.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(1, 2), (\frac{5}{2}, \frac{25}{8})$

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(2, 4)$

Minimum Mutlak: $(1, 2)$

Langkah 5