Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + x - 4 x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2} + 2 x^{4}}}$

Langkah 1

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x^{2} = \sqrt{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + \frac{- 4 x^{2}}{x^{2}}}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2}}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{4}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Langkah 2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Langkah 2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Langkah 2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{2 x^{4}}{x^{4}}}}$

Langkah 2.2.2.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{\sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Langkah 2.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Langkah 2.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Langkah 2.5

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Langkah 3

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Langkah 4

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - lim_{x \to \infty} 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Langkah 5.2

Pindahkan limit ke bawah tanda akar.

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2}}$

Langkah 5.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Langkah 6

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{4}}$ mendekati $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 2}}$

Langkah 7

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{2}}$ mendekati $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + lim_{x \to \infty} 2}}$

Langkah 8

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{0 + 0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Langkah 8.2.1.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0 - 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Langkah 8.2.1.4

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 0 + 2}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{0 + 2}}$

Langkah 8.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$\frac{- 4}{\sqrt{2}}$

Langkah 8.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{4}{\sqrt{2}}$

Langkah 8.2.4

Kalikan $\frac{4}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Langkah 8.2.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.5.1

Kalikan $\frac{4}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 8.2.5.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 8.2.5.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 8.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 8.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 8.2.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 8.2.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 8.2.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.2.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 8.2.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 8.2.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Langkah 8.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $4 \sqrt{2}$ .

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Langkah 8.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Langkah 8.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 8.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Langkah 8.2.6.2.4

Bagilah $2 \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$- (2 \sqrt{2})$

Langkah 8.2.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \sqrt{2}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- 2 \sqrt{2}$

Bentuk Desimal:

$- 2.82842712 \dots$