Kalkulus Contoh

$\int \frac{2 x + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Langkah 1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\int \frac{2 (x) + 2}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int \frac{2 (x) + 2 (1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x^{2} + 6 x}} d x$

Langkah 1.2

Faktorkan $3 x$ dari $3 x^{2} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $3 x$ dari $3 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 6 x}} d x$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $3 x$ dari $6 x$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x) + 3 x (2)}} d x$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $3 x$ dari $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$\int \frac{2 (x + 1)}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Langkah 2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{x + 1}{\sqrt{3 x (x + 2)}} d x$

Langkah 3

Biarkan $u = 3 x (x + 2)$ . Kemudian $d u = (6 x + 6) d x$ sehingga $\frac{1}{6} d u = (x + 1) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Biarkan $u = 3 x (x + 2)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan $3 x (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [3 x (x + 2)]$

Langkah 3.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x (x + 2)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x + 2)]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x + 2$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.1.4.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.1.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$3 (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.1.4.4.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$3 (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.1.4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (x + (x + 2) \cdot 1)$

Langkah 3.1.4.6

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.6.1

Kalikan $x + 2$ dengan $1$ .

$3 (x + x + 2)$

Langkah 3.1.4.6.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$3 (2 x + 2)$

Langkah 3.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

Langkah 3.1.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.2.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x + 3 \cdot 2$

Langkah 3.1.5.2.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 x + 6$

Langkah 3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 6} d u$

Langkah 4.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$2 \int \frac{1}{6 \sqrt{u}} d u$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{6}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{6}$ keluar dari integral.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 6.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 6.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 6.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 6.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 6.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 6.2.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 6.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 6.2.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 6.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tulis kembali $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ sebagai $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x (x + 2)$ .

$\frac{2}{3} {(3 x (x + 2))}^{\frac{1}{2}} + C$