Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} (x + 1) d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x + 1$ dan $d v = \sqrt{x}$ .

$(x + 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} d x$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Langkah 3

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{1} x^{\frac{3}{2}} d x)$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{1} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $(x + 1) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Langkah 5.2

Evaluasi $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$((1 + 1) \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$2 \frac{2 \cdot 1}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 (\frac{2}{3}) - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4}{3} - (0 + 1) \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.8

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.9

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.10

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.10.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.10.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0^{3}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.11

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.12

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{3}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.13

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.13.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.13.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.13.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{3} - 1 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.13.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{3} - 1 (\frac{0}{1}) - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.13.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\frac{4}{3} - 1 \cdot 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.14

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{4}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.15

Tambahkan $\frac{4}{3}$ dan $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.16

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.17

Kalikan $\frac{2}{5}$ dengan $1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.18

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Langkah 5.3.19

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Langkah 5.3.20

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.20.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Langkah 5.3.20.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Langkah 5.3.21

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Langkah 5.3.22

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Langkah 5.3.23

Kalikan $0$ dengan $\frac{2}{5}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Langkah 5.3.24

Tambahkan $\frac{2}{5}$ dan $0$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Langkah 5.3.25

Kalikan $\frac{2}{5}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Langkah 5.3.26

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Langkah 5.3.27

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{4}{3} - \frac{4}{15}$

Langkah 5.3.28

Untuk menuliskan $\frac{4}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

Langkah 5.3.29

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.29.1

Kalikan $\frac{4}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

Langkah 5.3.29.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{4 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

Langkah 5.3.30

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 \cdot 5 - 4}{15}$

Langkah 5.3.31

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.31.1

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$\frac{20 - 4}{15}$

Langkah 5.3.31.2

Kurangi $4$ dengan $20$ .

$\frac{16}{15}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{16}{15}$

Bentuk Desimal:

$1.0\overline{6}$

Bentuk Bilangan Campuran:

$1 \frac{1}{15}$

Langkah 7