Kalkulus Contoh

$\arccos (x)$

Langkah 1

Tulis $\arccos (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \arccos (x)$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \arccos (x) d x$

Langkah 4

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = \arccos (x)$ dan $d v = 1$ .

$\arccos (x) x - \int x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

Langkah 5

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\arccos (x) x - \int - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\arccos (x) x - - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\arccos (x) x + 1 \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 7.2

Kalikan $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ dengan $1$ .

$\arccos (x) x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Langkah 8

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 8.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 8.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 8.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 8.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 8.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 8.1.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\arccos (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arccos (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 9.2

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\arccos (x) x + \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 9.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\arccos (x) x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\arccos (x) x - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\arccos (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Langkah 12

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 12.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 12.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 12.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 12.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 14

Tulis kembali $\arccos (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ sebagai $\arccos (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\arccos (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $1 - x^{2}$ .

$\arccos (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \arccos (x)$ .

$F (x) =$ $\arccos (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$