Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1 d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \sqrt[3]{x} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 5

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 \int x^{\frac{1}{3}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - \int \frac{2}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 8

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 9.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 9.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Pindahkan $x^{4}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 9.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 9.2.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 \int x^{- 4} d x + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Gabungkan $x^{- 3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 11.2

Pindahkan $x^{- 3}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 12

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $5$ keluar dari integral.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 14

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 15

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{8}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 16

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (8 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x) + \int - 1 d x$

Langkah 17

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 17.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 17.3

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 17.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - 1 d x$

Langkah 17.4.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 17.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - 1 d x$

Langkah 18

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - 1 d x$

Langkah 19

Terapkan aturan konstanta.

$2 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 8 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - x + C$

Langkah 20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Sederhanakan.

$\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{2} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5 x^{4}}{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$

Langkah 20.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5}{4} x^{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$

Langkah 21

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 2 \sqrt[3]{x} - \frac{2}{x^{4}} + 5 x^{3} - \frac{8}{\sqrt{x}} - 1$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{5}{4} x^{4} - 16 x^{\frac{1}{2}} - x + C$