Kalkulus Contoh

$\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = 2 x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 4.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} - \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Langkah 5.2

Gabungkan.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} - \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{u + 2 (- \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 5.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\int \frac{u - 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 5.6

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u + \frac{- 2}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 5.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 5.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 5.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int \frac{u + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 5.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int \frac{u + \frac{- 1}{1}}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 5.7.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 5.8

Kalikan $\frac{u - 1}{2 \sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Langkah 5.9

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\int \frac{u - 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 7

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 7.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 7.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 7.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 7.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{4} \int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 8

Perluas $(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 8.2

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 8.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 8.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 8.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 8.6

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{4} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 11

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 14

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Untuk menuliskan $- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Langkah 15.2

Gabungkan $- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

Langkah 15.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

Langkah 15.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Faktorkan $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1.1

Pindahkan ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Langkah 15.4.1.2

Faktorkan $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari $2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) - 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

Langkah 15.4.1.3

Faktorkan $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari $- 2 \cdot 3 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)}{3} + C$

Langkah 15.4.1.4

Faktorkan $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dari $2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3)}{3} + C$

Langkah 15.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 3)}{3} + C$

Langkah 15.4.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.3.1

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x + 1)}^{1} - 3)}{3} + C$

Langkah 15.4.3.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 1 - 3)}{3} + C$

Langkah 15.4.4

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2)}{3} + C$

Langkah 15.4.5

Faktorkan $2$ dari $2 x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) - 2)}{3} + C$

Langkah 15.4.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (- 1))}{3} + C$

Langkah 15.4.5.3

Faktorkan $2$ dari $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x - 1))}{3} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x - 1)}{3} + C$

Langkah 15.4.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

Langkah 15.5

Gabungkan.

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

Langkah 15.6

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (4 {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{4 \cdot 3} + C$

Langkah 15.7

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 ({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1))}{3} + C$

Langkah 15.8

Kalikan ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$

Langkah 16

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ .

$F (x) =$ $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}{3} + C$