Kalkulus Contoh

$y = {(3 x^{2} - 6 x + 1)}^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = 3 x^{2} - 6 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x^{2} - 6 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x^{2} - 6 x + 1$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x + 1]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 6 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.5

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.7

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.2.8

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6 + 0)$

Langkah 1.2.9

Tambahkan $6 x - 6$ dan $0$ .

$2 (3 x^{2} - 6 x + 1) (6 x - 6)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$(2 (3 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

Langkah 1.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$(6 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

Langkah 1.3.2.2

Kalikan $- 6$ dengan $2$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 1) (6 x - 6)$

Langkah 1.3.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$

Langkah 1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(6 x^{2} - 12 x + 2) (6 x - 6)$ .

$f' (x) = (6 x - 6) (6 x^{2} - 12 x + 2)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 6 x - 6$ dan $g (x) = 6 x^{2} - 12 x + 2$ .

$(6 x - 6) \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 12 x + 2] + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{2} - 12 x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(6 x - 6) (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Langkah 2.2.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(6 x - 6) (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(6 x - 6) (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$(6 x - 6) (12 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Langkah 2.2.5

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Langkah 2.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Langkah 2.2.7

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12 + \frac{d}{d x} [2]) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Langkah 2.2.8

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12 + 0) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Langkah 2.2.9

Tambahkan $12 x - 12$ dan $0$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \frac{d}{d x} [6 x - 6]$

Langkah 2.2.10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x - 6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 2.2.11

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 2.2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 2.2.13

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 2.2.14

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) (6 + 0)$

Langkah 2.2.15

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.15.1

Tambahkan $6$ dan $0$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + (6 x^{2} - 12 x + 2) \cdot 6$

Langkah 2.2.15.2

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $6 x^{2} - 12 x + 2$ .

$(6 x - 6) (12 x - 12) + 6 \cdot (6 x^{2} - 12 x + 2)$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$(6 x - 6) (12 x - 12) + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.2

Terapkan sifat distributif.

$(6 x - 6) (12 x) + (6 x - 6) \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.3

Terapkan sifat distributif.

$6 x (12 x) - 6 (12 x) + (6 x - 6) \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.4

Terapkan sifat distributif.

$6 x (12 x) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Kalikan $12$ dengan $6$ .

$72 x \cdot x - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.5.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$72 (x^{1} x) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$72 (x^{1} x^{1}) - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$72 x^{1 + 1} - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$72 x^{2} - 6 (12 x) + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.5.6

Kalikan $12$ dengan $- 6$ .

$72 x^{2} - 72 x + 6 x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.5.7

Kalikan $- 12$ dengan $6$ .

$72 x^{2} - 72 x - 72 x - 6 \cdot - 12 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.5.8

Kalikan $- 6$ dengan $- 12$ .

$72 x^{2} - 72 x - 72 x + 72 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.5.9

Kurangi $72 x$ dengan $- 72 x$ .

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.5.10

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} + 6 (- 12 x) + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.5.11

Kalikan $- 12$ dengan $6$ .

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} - 72 x + 6 \cdot 2$

Langkah 2.3.5.12

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$72 x^{2} - 144 x + 72 + 36 x^{2} - 72 x + 12$

Langkah 2.3.5.13

Tambahkan $72 x^{2}$ dan $36 x^{2}$ .

$108 x^{2} - 144 x + 72 - 72 x + 12$

Langkah 2.3.5.14

Kurangi $72 x$ dengan $- 144 x$ .

$108 x^{2} - 216 x + 72 + 12$

Langkah 2.3.5.15

Tambahkan $72$ dan $12$ .

$f'' (x) = 108 x^{2} - 216 x + 84$