Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{x} (1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3}) d t$

Langkah 1

Hilangkan tanda kurung.

$\int_{0}^{x} 1 + 2 t + 3 t^{2} + 4 t^{3} d t$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{x} d t + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$t]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} 2 t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Langkah 4

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$t]_{0}^{x} + 2 \int_{0}^{x} t d t + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t^{2}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 3 t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Langkah 7

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 \int_{0}^{x} t^{2} d t + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{2}$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $t^{3}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + \int_{0}^{x} 4 t^{3} d t$

Langkah 10

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 \int_{0}^{x} t^{3} d t$

Langkah 11

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{3}$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{x})$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $t^{4}$ .

$t]_{0}^{x} + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Langkah 12.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Evaluasi $t$ pada $x$ dan pada $0$ .

$(x) + 0 + 2 (\frac{t^{2}}{2}]_{0}^{x}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Langkah 12.2.2

Evaluasi $\frac{t^{2}}{2}$ pada $x$ dan pada $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{t^{3}}{3}]_{0}^{x}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Langkah 12.2.3

Evaluasi $\frac{t^{3}}{3}$ pada $x$ dan pada $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{t^{4}}{4}]_{0}^{x})$

Langkah 12.2.4

Evaluasi $\frac{t^{4}}{4}$ pada $x$ dan pada $0$ .

$x + 0 + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.3.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} - 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$x + 2 (\frac{x^{2}}{2} + 0) + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.5

Tambahkan $\frac{x^{2}}{2}$ dan $0$ .

$x + 2 \frac{x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.6

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x + \frac{2 x^{2}}{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.7.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.8

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.9

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.9.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.9.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.9.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} - 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.10

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$x + x^{2} + 3 (\frac{x^{3}}{3} + 0) + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.11

Tambahkan $\frac{x^{3}}{3}$ dan $0$ .

$x + x^{2} + 3 \frac{x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.12

Gabungkan $3$ dan $\frac{x^{3}}{3}$ .

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.13

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.13.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x + x^{2} + \frac{3 x^{3}}{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.13.2

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

Langkah 12.2.5.14

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{4})$

Langkah 12.2.5.15

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.15.1

Faktorkan $4$ dari $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Langkah 12.2.5.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.15.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Langkah 12.2.5.15.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Langkah 12.2.5.15.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - \frac{0}{1})$

Langkah 12.2.5.15.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} - 0)$

Langkah 12.2.5.16

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 (\frac{x^{4}}{4} + 0)$

Langkah 12.2.5.17

Tambahkan $\frac{x^{4}}{4}$ dan $0$ .

$x + x^{2} + x^{3} + 4 \frac{x^{4}}{4}$

Langkah 12.2.5.18

Gabungkan $4$ dan $\frac{x^{4}}{4}$ .

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Langkah 12.2.5.19

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.19.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x + x^{2} + x^{3} + \frac{4 x^{4}}{4}$

Langkah 12.2.5.19.2

Bagilah $x^{4}$ dengan $1$ .

$x + x^{2} + x^{3} + x^{4}$