Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Langkah 1

Evaluasi $\int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) \sin^{2} (x) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $\sin^{2} (x)$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $\sin^{2} (x)$ keluar dari integral.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{2 π} \cos (θ) \sin (θ) (\sin (x) - \sin (θ)) d θ d x$

Langkah 1.2

Biarkan $u = \sin (θ)$ . Kemudian $d u = \cos (θ) d θ$ sehingga $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Biarkan $u = \sin (θ)$ . Tentukan $\frac{d u}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Diferensialkan $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Langkah 1.2.1.2

Turunan dari $\sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Langkah 1.2.2

Substitusikan batas bawah untuk $θ$ di $u = \sin (θ)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Langkah 1.2.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.2.4

Substitusikan batas atas untuk $θ$ di $u = \sin (θ)$ .

$u_{upper} = \sin (2 π)$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Langkah 1.2.5.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u (\sin (x) - u) d u d x$

Langkah 1.3

Perluas $u (\sin (x) - u)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) + u (- u) d u d x$

Langkah 1.3.2

Susun kembali $u$ dan $- 1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - 1 \cdot u \cdot u d u d x$

Langkah 1.3.3

Buang faktor negatif.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u \cdot u) d u d x$

Langkah 1.3.4

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u) d u d x$

Langkah 1.3.5

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - (u^{1} u^{1}) d u d x$

Langkah 1.3.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{1 + 1} d u d x$

Langkah 1.3.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} u \sin (x) - u^{2} d u d x$

Langkah 1.3.8

Susun kembali $u \sin (x)$ dan $- u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \int_{0}^{0} - u^{2} + u \sin (x) d u d x$

Langkah 1.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (\int_{0}^{0} - u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Langkah 1.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- \int_{0}^{0} u^{2} d u + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Langkah 1.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{2}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Langkah 1.7

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $u^{3}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \int_{0}^{0} u \sin (x) d u) d x$

Langkah 1.8

Karena $\sin (x)$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\sin (x)$ keluar dari integral.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \int_{0}^{0} u d u) d x$

Langkah 1.9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{0}) d x$

Langkah 1.10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u^{2}$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{0}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Langkah 1.11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.1

Evaluasi $\frac{u^{3}}{3}$ pada $0$ dan pada $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) \frac{u^{2}}{2}]_{0}^{0}) d x$

Langkah 1.11.2

Evaluasi $\frac{u^{2}}{2}$ pada $0$ dan pada $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (\frac{0}{1} - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0^{3}}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.3.4.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 (0)}{3}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.3.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - \frac{0}{1}) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 - 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- (0 + 0) + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (- 0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.8

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.9

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.3.9.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 (0)}{2} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.3.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (\frac{0}{1} - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.9.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0^{2}}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.10

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.3.11.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 (0)}{2})) d x$

Langkah 1.11.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.11.3.11.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Langkah 1.11.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})) d x$

Langkah 1.11.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - \frac{0}{1})) d x$

Langkah 1.11.3.11.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 - 0)) d x$

Langkah 1.11.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) (0 + 0)) d x$

Langkah 1.11.3.13

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + \sin (x) \cdot 0) d x$

Langkah 1.11.3.14

Kalikan $\sin (x)$ dengan $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) (0 + 0) d x$

Langkah 1.11.3.15

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (x) \cdot 0 d x$

Langkah 1.11.3.16

Kalikan $\sin^{2} (x)$ dengan $0$ .

$\int_{0}^{π} 0 d x$

Langkah 2

Evaluasi $\int_{0}^{π} 0 d x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Integral dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0]_{0}^{π}$

Langkah 2.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Evaluasi $0$ pada $π$ dan pada $0$ .

$(0) + 0$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$