Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = x^{3} + 1$ . Kemudian $d u = 3 x^{2} d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = x^{3} + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Langkah 4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$3 x^{2}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{u}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Langkah 5.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 7

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 7.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 7.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 7.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 7.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Tulis kembali $\frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ sebagai $\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 9.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $2$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3} + 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Langkah 11

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 1}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$