Kalkulus Contoh

$\frac{x}{e^{x}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x}{e^{x}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x}{e^{x}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Langkah 4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tiadakan eksponen dari $e^{x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Langkah 4.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x e^{x \cdot - 1} d x$

Langkah 4.2.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\int x e^{- x} d x$

Langkah 5

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Langkah 7.2

Kalikan $\int e^{- x} d x$ dengan $1$ .

$x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Langkah 8

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 8.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 8.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 8.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 8.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Langkah 9

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Langkah 10

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$

Langkah 11

Tulis kembali $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)$ sebagai $- x e^{- x} - e^{u} + C$ .

$- x e^{- x} - e^{u} + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$- x e^{- x} - e^{- x} + C$

Langkah 13

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ .

$F (x) =$ $- x e^{- x} - e^{- x} + C$