Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \csc^{2} (\frac{1}{2} t) d t$

Langkah 1

Biarkan $u = \frac{1}{2} t$ . Kemudian $d u = \frac{1}{2} d t$ sehingga $2 d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \frac{1}{2} t$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\frac{1}{2} t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Langkah 1.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $\frac{1}{2} t$ terhadap $t$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$

Langkah 1.3

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{π}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.3.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Langkah 1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Langkah 2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \cdot 2 d u$

Langkah 2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\csc^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 \csc^{2} (u) d u$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) d u$

Langkah 4

Karena turunan dari $- \cot (u)$ adalah $\csc^{2} (u)$ , maka integral dari $\csc^{2} (u)$ adalah $- \cot (u)$ .

$2 (- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Langkah 5

Evaluasi $- \cot (u)$ pada $\frac{π}{3}$ dan pada $\frac{π}{6}$ .

$2 (- \cot (\frac{π}{3}) + \cot (\frac{π}{6}))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \cot (\frac{π}{6}))$

Langkah 6.2

Nilai eksak dari $\cot (\frac{π}{6})$ adalah $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Langkah 7.2

Kalikan $2 (- \frac{1}{\sqrt{3}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 7.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Langkah 8.1.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 8.1.2.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 8.1.2.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 8.1.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 8.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 8.1.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 8.1.2.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 8.1.2.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 8.1.2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 8.1.2.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 8.1.2.6.5

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

Langkah 8.2

Untuk menuliskan $2 \sqrt{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 8.3

Gabungkan $2 \sqrt{3}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Langkah 8.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Langkah 8.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 8.5.2

Tambahkan $- 2 \sqrt{3}$ dan $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Bentuk Desimal:

$2.30940107 \dots$