Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)}{x}$

Langkah 1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) + 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5 \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.4

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.5

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.6

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x) + 5 \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.7

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (2 \cdot 0) + 5 \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.7.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (2 \cdot 0) + 5 \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.8.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.8.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$\frac{\sin (0) + 5 \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.8.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.8.1.3

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 5 \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.8.1.4

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{0 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.8.1.5

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.2.8.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Langkah 1.1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (2 x) + 5 \sin (3 x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.1.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 \sin (3 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 \sin (3 x)$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.4.2.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.4.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.4.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (\cos (3 x) \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.4.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 5 (3 \cdot \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.4.7

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Langkah 1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)}{1}$

Langkah 1.4

Bagilah $2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) + 15 \cos (3 x)$

Langkah 2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

Langkah 2.2

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \cos (2 x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

Langkah 2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

Langkah 2.4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 15 \cos (3 x)$

Langkah 2.5

Pindahkan suku $15$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 lim_{x \to 0} \cos (3 x)$

Langkah 2.6

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)$

Langkah 2.7

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 \cos (2 lim_{x \to 0} x) + 15 \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Langkah 3

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$2 \cos (2 \cdot 0) + 15 \cos (3 lim_{x \to 0} x)$

Langkah 3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$2 \cos (2 \cdot 0) + 15 \cos (3 \cdot 0)$

Langkah 4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$2 \cos (0) + 15 \cos (3 \cdot 0)$

Langkah 4.1.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 \cdot 1 + 15 \cos (3 \cdot 0)$

Langkah 4.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + 15 \cos (3 \cdot 0)$

Langkah 4.1.4

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$2 + 15 \cos (0)$

Langkah 4.1.5

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$2 + 15 \cdot 1$

Langkah 4.1.6

Kalikan $15$ dengan $1$ .

$2 + 15$

Langkah 4.2

Tambahkan $2$ dan $15$ .

$17$