Kalkulus Contoh

$\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Langkah 2

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 3

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Langkah 4

Faktorkan $\sqrt{x}$ dari $x \sqrt{x} + \sqrt{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $\sqrt{x}$ dari $x \sqrt{x}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Langkah 4.2

Kalikan dengan $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Langkah 4.3

Faktorkan $\sqrt{x}$ dari $\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} (x + 1)}{x^{2}} d x$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{- 2} d x$

Langkah 5.2.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} (x + 1) x^{- 2} d x$

Langkah 5.2.3

Kalikan $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $x^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Pindahkan $x^{- 2}$ .

$\int x^{- 2} x^{\frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Langkah 5.2.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x^{- 2 + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Langkah 5.2.3.3

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Langkah 5.2.3.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Langkah 5.2.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Langkah 5.2.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.6.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$\int x^{\frac{- 4 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Langkah 5.2.3.6.2

Tambahkan $- 4$ dan $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} (x + 1) d x$

Langkah 5.2.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int x^{- \frac{3}{2}} (x + 1) d x$

Langkah 6

Perluas $x^{- \frac{3}{2}} (x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + x^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d x$

Langkah 6.2

Susun kembali $x^{- \frac{3}{2}}$ dan $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + 1 \cdot x^{- \frac{3}{2}} d x$

Langkah 6.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x^{1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Langkah 6.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int x^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Langkah 6.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\int x^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Langkah 6.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\int x^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Langkah 6.7

Tambahkan $- 3$ dan $2$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Langkah 6.8

Kalikan $x^{- \frac{3}{2}}$ dengan $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Langkah 7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Langkah 8

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan.

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 11.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 11.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Langkah 12

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$