Kalkulus Contoh

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{2} {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan menggunakan rumus $\frac{a}{1 - r}$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{i}$ dan $a_{i + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Langkah 2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ dan ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan ${(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ dari ${(\frac{1}{3})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1}}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{i - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Langkah 2.2.2.2.4

Bagilah ${(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Langkah 2.2.3

Tambahkan $i$ dan $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - (i - 1)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i - - 1}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{i - i + 1}$

Langkah 2.2.5

Kurangi $i$ dengan $i$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Langkah 2.2.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$r = \frac{1}{3}$

Langkah 3

Karena $| r | < 1$ , deretnya konvergen.

Langkah 4

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ untuk $i$ ke dalam $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{0}$

Langkah 4.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$a = \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Langkah 4.2.3

Gabungkan.

$a = \frac{1 \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Langkah 4.2.4

Kalikan $1$ dengan $1^{0}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Kalikan $1$ dengan $1^{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1.1

Naikkan $1$ menjadi pangkat $1$ .

$a = \frac{1^{1} \cdot 1^{0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Langkah 4.2.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$a = \frac{1^{1 + 0}}{2 \cdot 3^{0}}$

Langkah 4.2.4.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$a = \frac{1^{1}}{2 \cdot 3^{0}}$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan $1^{1}$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 3^{0}}$

Langkah 4.2.6

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$a = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Langkah 4.2.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$a = \frac{1}{2}$

Langkah 5

Substitusikan nilai rasio dan suku pertama ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Langkah 6.2.3

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Langkah 6.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{2} (1 (\frac{3}{2}))$

Langkah 6.4

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Langkah 6.5

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2}$

Langkah 6.5.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{3}{4}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{3}{4}$

Bentuk Desimal:

$0.75$