Kalkulus Contoh

$y = (5 x^{2} - 3) (7 x^{3} + x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 5 x^{2} - 3$ dan $g (x) = 7 x^{3} + x$ .

$(5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [7 x^{3} + x] + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 x^{3} + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Langkah 1.2.2

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(5 x^{2} - 3) (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$(5 x^{2} - 3) (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Langkah 1.2.4

Kalikan $3$ dengan $7$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Langkah 1.2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{2} - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 1.2.7

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 1.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 1.2.9

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Langkah 1.2.10

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + 0)$

Langkah 1.2.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.1

Tambahkan $10 x$ dan $0$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x)$

Langkah 1.2.11.2

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $7 x^{3} + x$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 \cdot (7 x^{3} + x) x$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (10 (7 x^{3}) + 10 x) x$

Langkah 1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.4

Terapkan sifat distributif.

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.5

Terapkan sifat distributif.

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.6

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Kalikan $21$ dengan $5$ .

$105 x^{2} x^{2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.6.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$105 (x^{2} x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$105 x^{2 + 2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.6.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$105 x^{4} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.6.3

Kalikan $21$ dengan $- 3$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.6.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.6.5

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.6.6

Tambahkan $- 63 x^{2}$ dan $5 x^{2}$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.6.7

Kalikan $7$ dengan $10$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{3} x + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.6.8

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 (x^{1} x^{3}) + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.6.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{1 + 3} + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.6.10

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x \cdot x$

Langkah 1.3.6.11

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x)$

Langkah 1.3.6.12

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x^{1})$

Langkah 1.3.6.13

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{1 + 1}$

Langkah 1.3.6.14

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{2}$

Langkah 1.3.6.15

Tambahkan $105 x^{4}$ dan $70 x^{4}$ .

$175 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 x^{2}$

Langkah 1.3.6.16

Tambahkan $- 58 x^{2}$ dan $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [175 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $175$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $175 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $175 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$175 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$175 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.2.3

Kalikan $4$ dengan $175$ .

$700 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 48$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 48 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$700 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$700 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 48$ .

$700 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$700 x^{3} - 96 x + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $700 x^{3} - 96 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = 700 x^{3} - 96 x$