Kalkulus Contoh

$\int_{- 5}^{9} \frac{2 {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}}}{3} d x$

Langkah 1

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{2}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{2}{3} \int_{- 5}^{9} {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = 2 x + 9$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 2 x + 9$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $2 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 9]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 2.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 2 x + 9$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 5 + 9$

Langkah 2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 5$ .

$u_{lower} = - 10 + 9$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $- 10$ dan $9$ .

$u_{lower} = - 1$

Langkah 2.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 2 x + 9$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 9 + 9$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$u_{upper} = 18 + 9$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $18$ dan $9$ .

$u_{upper} = 27$

Langkah 2.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 27$

Langkah 2.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Langkah 3

Gabungkan $u^{\frac{1}{3}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u)$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Langkah 5.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{2}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Langkah 5.3

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Langkah 5.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{3}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{27}$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ pada $27$ dan pada $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.5

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.6

Kalikan $3$ dengan $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.7

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Langkah 7.2.8

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Langkah 7.2.9

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.9.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Langkah 7.2.9.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4})$

Langkah 7.2.10

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Langkah 7.2.11

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

Langkah 7.2.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{243 - 3}{4}$

Langkah 7.2.13

Kurangi $3$ dengan $243$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{240}{4}$

Langkah 7.2.14

Hapus faktor persekutuan dari $240$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.14.1

Faktorkan $4$ dari $240$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4}$

Langkah 7.2.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.14.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 (1)}$

Langkah 7.2.14.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1}$

Langkah 7.2.14.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{60}{1}$

Langkah 7.2.14.2.4

Bagilah $60$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 60$

Langkah 7.2.15

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $60$ .

$\frac{60}{3}$

Langkah 7.2.16

Hapus faktor persekutuan dari $60$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.16.1

Faktorkan $3$ dari $60$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3}$

Langkah 7.2.16.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.16.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3 (1)}$

Langkah 7.2.16.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 1}$

Langkah 7.2.16.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{20}{1}$

Langkah 7.2.16.2.4

Bagilah $20$ dengan $1$ .

$20$

Langkah 8