Kalkulus Contoh

$y = 12 \sin (w t + π)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $12$ konstan terhadap $w$ , turunan dari $12 \sin (w t + π)$ terhadap $w$ adalah $12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ adalah $f' (g (w)) g' (w)$ di mana $f (w) = \sin (w)$ dan $g (w) = w t + π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $w t + π$ .

$12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Langkah 1.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$12 (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $w t + π$ .

$12 (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $w t + π$ terhadap $w$ adalah $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$12 \cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π])$

Langkah 1.3.2

Karena $t$ konstan terhadap $w$ , turunan dari $w t$ terhadap $w$ adalah $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$12 \cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ adalah $n w^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$12 \cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π])$

Langkah 1.3.4

Kalikan $t$ dengan $1$ .

$12 \cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π])$

Langkah 1.3.5

Karena $π$ konstan terhadap $w$ , turunan dari $π$ terhadap $w$ adalah $0$ .

$12 \cos (w t + π) (t + 0)$

Langkah 1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.6.1

Tambahkan $t$ dan $0$ .

$12 \cos (w t + π) t$

Langkah 1.3.6.2

Susun kembali faktor-faktor dari $12 \cos (w t + π) t$ .

$f' (w) = 12 t \cos (w t + π)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $12 t$ konstan terhadap $w$ , turunan dari $12 t \cos (w t + π)$ terhadap $w$ adalah $12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$ .

$12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ adalah $f' (g (w)) g' (w)$ di mana $f (w) = \cos (w)$ dan $g (w) = w t + π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $w t + π$ .

$12 t (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$12 t (- \sin (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $w t + π$ .

$12 t (- \sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $w t + π$ terhadap $w$ adalah $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Langkah 2.3.3

Karena $t$ konstan terhadap $w$ , turunan dari $w t$ terhadap $w$ adalah $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Langkah 2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ adalah $n w^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Langkah 2.3.5

Kalikan $t$ dengan $1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Langkah 2.3.6

Karena $π$ konstan terhadap $w$ , turunan dari $π$ terhadap $w$ adalah $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + 0))$

Langkah 2.3.7

Tambahkan $t$ dan $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) t)$

Langkah 2.4

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$- 12 (t^{1} t) \sin (w t + π)$

Langkah 2.5

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{1}) \sin (w t + π)$

Langkah 2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 12 t^{1 + 1} \sin (w t + π)$

Langkah 2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (w) = - 12 t^{2} \sin (w t + π)$

Langkah 3

Tentukan turunan ketiganya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- 12 t^{2}$ konstan terhadap $w$ , turunan dari $- 12 t^{2} \sin (w t + π)$ terhadap $w$ adalah $- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ adalah $f' (g (w)) g' (w)$ di mana $f (w) = \sin (w)$ dan $g (w) = w t + π$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$- 12 t^{2} (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $w t + π$ terhadap $w$ adalah $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Langkah 3.3.2

Karena $t$ konstan terhadap $w$ , turunan dari $w t$ terhadap $w$ adalah $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ adalah $n w^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Langkah 3.3.4

Kalikan $t$ dengan $1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Langkah 3.3.5

Karena $π$ konstan terhadap $w$ , turunan dari $π$ terhadap $w$ adalah $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + 0))$

Langkah 3.3.6

Tambahkan $t$ dan $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) t)$

Langkah 3.4

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{2}) \cos (w t + π)$

Langkah 3.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 12 t^{1 + 2} \cos (w t + π)$

Langkah 3.6

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f''' (w) = - 12 t^{3} \cos (w t + π)$